Математика
Стереометрическая задача: страница 5
Тема «Стереометрическая задача» на экзамене: типовые задачи и ход рассуждения.
В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = $\sqrt{33} ,$ все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребрах…11 классТочка K лежит на стороне AB основания ABCD правильной четырехугольнойТочка K лежит на стороне AB основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD, все ребра которой равны. Плоскость α проходит через точку K параллельно плоскости ASD. Сечение пирамиды…11 классAD = 14, высота SH = 24. Точка P — середина бокового ребра SD, а точкаВ правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AD = 14, высота SH = 24. Точка P — середина бокового ребра SD, а точка N — середина ребра CD. Плоскость ABP пересекает боковое…11 классABCA₁B₁C₁ — правильная призма, сторона AB равна 25. Через точки M и PABCA₁B₁C₁ — правильная призма, сторона AB равна 25. Через точки M и P, лежащие на рёбрах AC и BB₁ соответственно, проведена плоскость α, параллельная прямой AB. Сечение призмы этой…11 классВ правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведена высота SH. KВ правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведена высота SH. K — середина ребра SD, N — середина ребра CD. Плоскость ABK пересекает ребро SC в точке P.а) Докажите, что прямая PK делит…11 классНа ребрах АВ и SB отмечены точки K и L соответственно, причем $AK=SL=7$В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 12, а боковое ребро SA равно 17. На ребрах АВ и SB отмечены точки K и L соответственно, причем $AK=SL=7$ Плоскость α…11 классПлоскость α параллельна прямой AB и содержит точки E и N.а) ДокажитеВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания AC равна $10 \sqrt{3} ,$ а боковое ребро равно $3 \sqrt{10}$ На ребре AC отмечена точка E так, что $AE= \sqrt{3}$ Точки F, N —…11 классОснованием правильной треугольной пирамиды MABC является треугольникОснованием правильной треугольной пирамиды MABC является треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины ребер AC и BC проведена…11 классНа ребрах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 12 отмечены точки P и QНа ребрах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 12 отмечены точки P и Q соответственно, причем DP = 4, а B₁Q = 3. Плоскость APQ пересекает ребро CC₁ в точке M.а) Докажите, что точка M…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра BC = 8, CD = 3, BB₁В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра BC = 8, CD = 3, BB₁ = 6. Точка Q — середина ребра CC₁.а) Докажите, что угол между плоскостями BD₁Q и ABC равен $\arccos…11 классОснованием правильной треугольной пирамиды MABC является треугольникОснованием правильной треугольной пирамиды MABC является треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и середины ребер AC и AB проведена…11 классВ правильной треугольной пирамиде MNPQ с вершиной M сторона основанияВ правильной треугольной пирамиде MNPQ с вершиной M сторона основания равна 15, высота равна $\sqrt{6}$ На ребрах NP, NQ и NM отмечены точки E, F, K соответственно, причем NE = NF = 3 и…11 классТочка S лежит вне плоскости прямоугольника АВСD. Известно, что АВ = 8Точка S лежит вне плоскости прямоугольника АВСD. Известно, что АВ = 8, ВС = 12, SA = 6, SB = 10, $SD=6 \sqrt{5}$ а) Докажите, что прямая SA перпендикулярна плоскости АВС.б) Найдите…11 классОснованием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Высота пирамидыОснованием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Высота пирамиды проходит через точку D, М — середина бокового ребра SC. Угол между прямыми АМ и ВС равен 60°.а) Докажите, что $SD:CD=…11 классВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N являются серединами рёбер AB и ADВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N являются серединами рёбер AB и AD соответственно.а) Докажите, что прямые B₁N и CM перпендикулярны.б) Плоскость α проходит через точки N и B₁ параллельно…11 классТочка M — середина ребра AA₁ треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, в основанииТочка M — середина ребра AA₁ треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, в основании которой лежит треугольник ABC. Плоскость α проходит через точки B и B₁ перпендикулярно прямой C₁M. а) Докажите, что…11 классТочка S лежит вне плоскости прямоугольника АВСD. Известно, что $AB=6Точка S лежит вне плоскости прямоугольника АВСD. Известно, что $AB=6 \sqrt{21} ,$ ВС = 5, SA = 12, SB = 30, SD = 13.а) Докажите, что прямая SA перпендикулярна плоскости АВС.б) Найдите…11 классОснованием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Высота пирамидыОснованием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Высота пирамиды проходит через точку D, М — середина бокового ребра SC. Угол между прямыми АМ и ВС равен 60°.а) Докажите, что $SD:CD=…11 классВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N являются серединами рёбер AB и ADВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N являются серединами рёбер AB и AD соответственно.а) Докажите, что прямые B₁N и CM перпендикулярны.б) Плоскость α проходит через точки N и B₁ параллельно…11 классТочка M — середина ребра AA₁ треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, в основанииТочка M — середина ребра AA₁ треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, в основании которой лежит треугольник ABC. Плоскость α проходит через точки B и B₁ перпендикулярно прямой C₁M. а) Докажите, что…11 классДана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁.а) Докажите, чтоДана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁.а) Докажите, что плоскости AD₁C и BB₁D₁ перпендикулярны.б) Найдите расстояние от точки B₁ до плоскости AD₁C, если AB = 5 и AA₁ = 6.…11 классВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 12, точки K и L — серединыВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 12, точки K и L — середины ребер AD и C₁D₁ соответственно, а точка F расположена на ребре BC так, что CF = 3BF.а) Докажите, что плоскость KLF делит…11 классДокажите, что угол между прямыми BE и AC₁ равен углу AC₁F.б) НайдитеНа ребре CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечена точка E так, что $CE : EC_1=1: 2$ а) Пусть точка F делит ребро BB₁ в отношении 1 : 2, считая от вершины B₁. Докажите, что угол между прямыми BE и AC₁…11 классДан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, NДан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, N соответственно так, что $AK : KC =3: 7,$ а KLMN — квадрат со стороной 3. а) Докажите, что $BM : MD =3: 7$ б) Найдите…11 классДан тетраэдр ABCD. На ребре AC выбрана точка K так, что $A K: K C=3:7$Дан тетраэдр ABCD. На ребре AC выбрана точка K так, что $A K: K C=3:7$ Также на ребрах AD, BD и BC выбраны точки L, M и N соответственно так, что KLMN — квадрат со стороной 3. а) Докажите,…11 классДан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M, N лежат на ребрах AC, AD, DB и BCДан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M, N лежат на ребрах AC, AD, DB и BC соответственно, так, что четырехугольник KLMN — квадрат со стороной 2, AK : KC = 2 : 3.а) Докажите, что $BM : MD =2: 3$…11 классНа рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и NНа рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём $A K : K C = 2 : 3$ Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2. а) Докажите, что прямые AB и CD…11 классДан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, NДан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, N соответственно так, что $AK : KC =3: 7,$ а KLMN — квадрат со стороной 2. а) Докажите, что $BM : MD =3: 7$ б) Найдите…11 классВ тетраэдре ABCD противоположные ребра попарно равны. Точки M, N и KВ тетраэдре ABCD противоположные ребра попарно равны. Точки M, N и K середины боковых ребер BD, AC и DC соответственно. Через точку K проведена секущая плоскость α, параллельная ребрам BD и…11 классВ тетраэдре ABCD противоположные ребра попарно равны. Точки M, N и KВ тетраэдре ABCD противоположные ребра попарно равны. Точки M, N и K — середины боковых ребер BD, AC и DC соответственно. Через точку К проведена секущая плоскость α, параллельная ребрам BD…11 классТочка M середина SC, точка N делит ребро SB в отношении 3 : 2, считаяВ правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M середина SC, точка N делит ребро SB в отношении 3 : 2, считая от вершины S.а) Докажите, что точки A, E, M и N лежат в одной…11 классШар с центром в точке О касается всех граней этой призмы. Точки M, N иВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ длина бокового ребра AA₁ равна 2. Шар с центром в точке О касается всех граней этой призмы. Точки M, N и K — середины ребер AB, A₁B₁ и CC₁…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра $D D_1=24,$ $A D=8$В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ребра $D D_1=24,$ $A D=8$ и $AB =7,5$ На ребрах AA₁ и CD отмечены точки P и K соответственно, причем DK = 5, A₁P = 6. Плоскость ВКР пересекает…11 классВ правильной треугольной призме точка M лежит на высоте основания BDВ правильной треугольной призме точка M лежит на высоте основания BD, причем $BM : MD = 3 : 1,$ точка N лежит на диагонали CB₁ боковой грани CC₁B₁B. Прямые AN и A₁M пересекаются.а)…11 классВсе грани призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — равные ромбы со стороной, равной 2.Все грани призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — равные ромбы со стороной, равной 2. Плоские углы при вершине А равны 60° каждый. Через середину диагонали A₁C проведена плоскость α, перпендикулярная этой…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что $AB = 3,$ $AВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что $AB = 3,$ $A D = 4$ и $A A_1 = 6$ Через точки B₁ и D параллельно прямой AC проведена плоскость, пересекающая ребро CC₁ в точке K.…11 классОснованием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — серединаВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении BK : KC = 2 : 1, AB = 6 и…11 классДан тетраэдр SABC. На его ребре AC выбрана точка P так, что AP : PC = 3Дан тетраэдр SABC. На его ребре AC выбрана точка P так, что AP : PC = 3 : 5. Также на ребрах SA, SB и BC выбраны точки T, Q и R соответственно так, что PTQR — квадрат со стороной 3.а)…11 классВ пирамиде SABC боковые рёбра SA, SB и SC попарно перпендикулярны, аВ пирамиде SABC боковые рёбра SA, SB и SC попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 5 \sqrt{2}$ а) Докажите, что пирамида SABC правильная.б) На рёбрах SA и SC отмечены точки К и М…11 классABCD. Плоскость α пересекает ребра DD₁ и AA₁ в точках М и KОснованием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD. Плоскость α пересекает ребра DD₁ и AA₁ в точках М и K соответственно так, что DM : MD₁ = 4 : 1, AK : KA₁ = 2 : 3, а ребро АВ — в…11 класс
