Дан тетраэдр SABC. На его ребре AC выбрана точка P так, что AP : PC = 3

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Из условия следует, что прямые TQ и RP параллельны. Предположим, прямая PR пересекает прямую AB в точке X, тогда X — точка пересечения плоскости PTQR и прямой AB. Если точка X лежит на прямой TQ, то прямые TQ и PR пересекаются, что невозможно. Если X не лежит на TQ, то прямые TQ и AB скрещиваются, что также невозможно, поскольку они лежат в одной плоскости. Значит, предположение неверно, и прямые PR и AB не пересекаются, а тогда они параллельны, поскольку лежат в одной плоскости, а потому $BR : RC = AP : PC = 3 : 5$ б) Аналогично пункту а) получаем, что прямая PT параллельна прямым QR и SC. Из этого следует, что прямые SC и AB перпендикулярны, поскольку перпендикулярны прямые PT и PR. Тогда треугольники ATP и ASC подобны, значит, $\frac{TP}{SC} = \frac{AT}{AS} = \frac{AP}{AC} = \frac{3}{8} ,$ откуда $SC = 8$ Аналогично $AB= \frac{24}{5}$ Пусть расстояние между прямыми AB и CD равно d. Воспользуемся формулой объема тетраэдра, выраженного через длины скрещивающихся ребер, расстояние и угол между ними: $V = \frac{AB \cdot SC \cdot d \cdot \sin \widehat ( AB; SC )}{6}$ По условию $V = 32,$ откуда $d = \frac{32 \cdot 6}{8 \cdot \frac{24}{5}} = 5$ Осталось заметить, что плоскость PQT параллельна прямым AB и SC и делит расстояние между ними в отношении 3 :