Грань ACC₁A₁ является квадратом.а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Заметим, что B₁C₁ ⊥ C₁A₁ как катеты прямоугольного треугольника и B₁C₁ ⊥ C₁C, поскольку призма прямая. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости $B_1C_1 \perp ( ACA_1 )$ Кроме того, $A_1C \perp C_1A$ как диагонали квадрата. Далее, AB₁ — наклонная, AC₁ — ее проекция на плоскость ACA₁, $A_1C$ — прямая в плоскости $ACA_1,$ перпендикулярная проекции. По теореме о трёх перпендикулярах $AB_1 \perp CA_1,$ что и требовалось доказать. б) Пусть точка M — середина AC₁. Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки M до прямой AB₁, поскольку прямая A₁C перпендикулярна плоскости AB₁C₁. Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника AB₁C₁, проведённой к гипотенузе, то есть $d= \frac{AC_1 \cdot B_1C_1}{2AB_1} = \frac{\sqrt{2} AC \cdot BC}{2 \sqrt{2AC^{2} + BC^{2}}} = \frac{14 \sqrt{2}}{9}$