Математика
Стереометрическая задача: страница 19
Тема «Стереометрическая задача» на экзамене: типовые задачи и ход рассуждения.
Основанием прямой треугольной призмы PQRP₁Q₁R₁ является прямоугольныйОснованием прямой треугольной призмы PQRP₁Q₁R₁ является прямоугольный треугольник PQR с прямым углом R. Диагонали боковых граней PP₁Q₁Q и PP₁R₁R равны 17 и 15 соответственно, PQ = 10.а)…11 классДана треугольная пирамида SABC. Основание высоты SO этой пирамидыДана треугольная пирамида SABC. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка CH — высоты треугольника ABC.а) Докажите, что $AC^{2} - BC^{2} =AS^{2} - BS^{2}$ б) Найдите…11 классРазличные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса сРазличные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.a)…11 классВ основании четырехугольной пирамиды PABCD лежит трапеция ABCD cВ основании четырехугольной пирамиды PABCD лежит трапеция ABCD c большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90°, плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.а) Докажите, что $\angle AHC=90^{\circ}$ б) Найдите объём пирамиды, если…11 классДана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, сторона AB основанияДана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, сторона AB основания которой равна 32, а боковое ребро BB₁ равно $4 \sqrt{3}$ На рёбрах AB и В₁C₁ отмечены точки K и L соответственно, причём…11 классБоковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD образует сБоковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD образует с основанием угол 45°, сторона основания равна 4. Через среднюю линию треугольника АВD, не пересекающую BD, и середину…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.а) Докажите, что $\angle AHC=90^{\circ}$ б) Найдите объём пирамиды, если…11 классТочка М — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольнойТочка М — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, точка N лежит на стороне основания ВС. Плоскость α проходит через точки М и N параллельно боковому ребру…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на диагонали BD₁ отмеченаВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на диагонали BD₁ отмечена точка N так, что BN : ND₁ = 1 : 2. Точка O — середина отрезка CB₁.а) Докажите, что прямая NO проходит через точку A.б)…11 классНа сфере α выбрали пять точек: A, B, C, D и S. Известно, что AB = BC =На сфере α выбрали пять точек: A, B, C, D и S. Известно, что AB = BC = CD = DA = 4, SA = SB = SC = SD = 7.а) Докажите, что многогранник SABCD — правильная четырёхугольная пирамида.б)…11 классТочка M лежит на ребре BC, причем BM = 1, точка K лежит на ребре SCВ правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. Точка M лежит на ребре BC, причем BM = 1, точка K лежит на ребре SC, причем SK = 4.а) Докажите,…11 классВ правильной треугольной пирамиде МАВС двугранный угол при основанииВ правильной треугольной пирамиде МАВС двугранный угол при основании paвeн $\operatorname{arctg} 3$ Через точку К ребра МС и вершины А и В проходит плоскость α так, что площадь сечения…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на диагонали BD₁ отмеченаВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на диагонали BD₁ отмечена точка N так, что BN : ND₁ = 1 : 2. Точка O — середина отрезка CB₁.а) Докажите, что прямая NO проходит через точку A.б)…11 классAB равна 16, высота SH равна 10. Точка K — середина бокового ребра SA.В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 16, высота SH равна 10. Точка K — середина бокового ребра SA. Плоскость, параллельная плоскости ABC, проходит через точку K…11 классТочка F — середина бокового ребра SA правильной четырехугольнойТочка F — середина бокового ребра SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD, точка М лежит на стороне основания AB. Плоскость β проходит через точки F и М параллельно боковому ребру…11 классВ правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, сторона основанияВ правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA₁ равно $5 \sqrt{3}$ На ребре DD₁ отмечена точка M так, что $DM : MD_1=2: 3$ Плоскость…11 классДан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на ребрах AC, AD, DB и BCДан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на ребрах AC, AD, DB и BC соответственно, так, что четырехугольник KLMN — квадрат, и AK : KC = 3 : 7.а) Докажите, что $AB : CD =3: 7$ б) Найдите…11 классВ основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. На боковых рёбрахВ основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. На боковых рёбрах SA, SC и SD отмечены точки K, L и M соответственно так, что SK : KA = SL : LC = 2 : 1 и SM = MD.а) Докажите, что…11 классНа рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и NНа рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём $A K : K C = 2 : 3$ Четырёхугольник KLMN квадрат. а) Докажите, что $A B: C D = 2 : 3$ б) Найдите…11 классВ основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. На боковых рёбрахВ основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. На боковых рёбрах SA, SC и SD отмечены точки K, L и M соответственно так, что SK : KA = SL : LC = 2 : 1 и SM = MD.а) Докажите, что…11 классТочки P, T, M — середины ребер SB, BC, AB соответственно. Известно, чтоВ основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит равнобедренная трапеция ABCD, в которой $A B = B C = C D,$ а основание AD вдвое больше основания BC. Точки P, T, M — середины ребер SB, BC,…11 классВ n-угольной пирамиде SA₁A₂...Aₙ с вершиной S тангенс двугранного углаВ n-угольной пирамиде SA₁A₂...Aₙ с вершиной S тангенс двугранного угла при каждом ребре основания равен 0,75.а) Докажите, что площадь полной поверхности пирамиды относится к площади…11 классПлоскость α перпендикулярна ребру CD и пересекает рёбра AB и CD вГрани ABD и ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 4 и перпендикулярны друг другу. Плоскость α перпендикулярна ребру CD и пересекает рёбра AB и CD в точках K и M…11 классОснование пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым угломОснование пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Ребро SA является высотой пирамиды. Точки E и F лежат на рёбрах AC и BS соответственно так, что $S F: F…11 классВ правильной пирамиде SABC с вершиной S на стороне основания AC иВ правильной пирамиде SABC с вершиной S на стороне основания AC и боковом ребре SB отметили соответственно точки E и N такие, что AE : EC = SN : NB = 1 : 2. Через точки E и N параллельно…11 классОснование пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым угломОснование пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Ребро SA является высотой пирамиды. Точки E и F лежат на рёбрах AC и BS соответственно так, что $S F: F…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD являетсяВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD является прямоугольником со сторонами 6 и 8, диагонали которого пересекаются в точке O. Плоскость, содержащая диагональ AC и…11 классВ правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ на ребрах BB₁ и CC₁В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ на ребрах BB₁ и CC₁ отмечены точки M, N соответственно такие, что BM : MB₁ = 2 : 5, BM : NC₁ = 2 : 3.а) Докажите, что BD параллельна…11 классПлоскость α, содержащая диагональ BD грани куба ABCDA₁B₁C₁D₁Плоскость α, содержащая диагональ BD грани куба ABCDA₁B₁C₁D₁, пересекает ребро B₁C₁ и делит площадь боковой поверхности куба в отношении 2 : 1. а) Докажите, что плоскость α делит ребро B₁C₁…11 классВ треугольной пирамиде ребра АВ, АС и AD взаимно перпендикулярныВ треугольной пирамиде ребра АВ, АС и AD взаимно перпендикулярны, причём АВ = АС. Точки L, F, Q и T — середины ребер BD, DC, AC и AB соответственно. Известно, что плоскости DTQ и ALF…11 классДана правильная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребрах CD, CC₁ и A₁B₁ отметилиДана правильная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребрах CD, CC₁ и A₁B₁ отметили точки K, L и M соответственно. Известно, что A₁M = MB₁, DK = 2KC, а четырёхугольник AKLM — равнобедренная трапеция. а)…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD являетсяВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD является прямоугольником со сторонами 5 и 12, диагонали которого пересекаются в точке O. Плоскость, содержащая диагональ AC и…11 классДана правильная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На рёбрах CD, CC₁ и A₁B₁ отметилиДана правильная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На рёбрах CD, CC₁ и A₁B₁ отметили точки K, L и M соответственно. Известно, что A₁M = MB₁, DK = 3KC, а четырёхугольник AKLM — равнобедренная трапеция. а)…11 классНа ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды DABC отмечены точки M и N такНа ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды DABC отмечены точки M и N так, что АМ : МВ = СN : NB = 1 : 3. Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.а) Докажите, что точки Р, Q, M и N…11 классДиагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с его двумяДиагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с его двумя гранями углы, равные α, а с третьей — угол, равный β.а) Докажите, что $\sin^{2} бета = \cos 2 альфа$ б) Найдите объем…11 классВ правильной четырехугольной пирамиде SABCD точки М и K — серединыВ правильной четырехугольной пирамиде SABCD точки М и K — середины сторон SB и DC соответственно. Через центр основания пирамиды параллельно прямым АМ и SK проведена плоскость α.а)…11 классВ пирамиде SABCD основанием является прямоугольник ABCD $( AB < AD ) ,$В пирамиде SABCD основанием является прямоугольник ABCD $( AB < AD ) ,$ а все боковые рёбра пирамиды равны. Из точки B опущен перпендикуляр BH на плоскость SAD.а) Докажите, что $\angle AHC…11 классM — середина ребра AB. Через точку M проведена плоскость αВ правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка M — середина ребра AB. Через точку M проведена плоскость α, параллельная плоскости SBC и пересекающая ребро SD в точке K.а) Докажите, что K…11 классM — середина ребра AB. Через точку M проведена плоскость αВ правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка M — середина ребра AB. Через точку M проведена плоскость α, параллельная плоскости SBC и пересекающая ребро SD в точке K.а) Докажите, что K…11 класс
