В основании четырехугольной пирамиды PABCD лежит трапеция ABCD c

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Заметим, что PK — линия пересечения плоскостей PAB и PCD, $\angle AKD=180^{\circ} - ( \angle BAD + \angle ACD ) =90^{\circ}$ Заметим, что KD — линия пересечения плоскостей ABC и PCD, и при этом прямые AK и KD перпендикулярны, следовательно, прямая AK перпендикулярна плоскости PCD и, в частности, прямая AK перпендикулярна прямой PK. Аналогично прямые DK и PK перпендикулярны. Таким образом, угол AKD — линейный угол двугранного угла между плоскостями PAB и PCD и, следовательно, плоскости перпендикулярны.б) Из п. а) следует, что PK — высота пирамид PABCD и PKBC, а в основании пирамиды PKBC лежит прямоугольный треугольник KBC. Заметим, что треугольники KBC и KAD подобны. Пусть коэффициент подобия равен k, BK = x, CK = y, тогда $AK=x + 3=kx \Leftrightarrow x= \frac{3}{k - 1} ,$ $DK=y + 4=ky \Leftrightarrow y= \frac{4}{k - 1}$ Поскольку $x^{2} + y^{2} =5,$ тогда $( x + 3 )^{2} + ( y + 3 )^{2} =k^{2} \cdot 5^{2} \Leftrightarrow x^{2} + bx + 9 + y^{2} + 8y + 16=25k^{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \cdot 25 + \frac{2 \cdot 9}{k - 1} + \frac{2 \cdot 16}{k - 1} =25k^{2} \Leftrightarrow 2 + \frac{2}{k - 1} =k^{2} \Leftrightarrow k^{3} - k^{2} - 2k=0 \Leftrightarrow k=2$ $\Leftrightarrow 2 \cdot 25 + \frac{2 \cdot 9}{k - 1} + \frac{2 \cdot 16}{k - 1} =25k^{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 + \frac{2}{k - 1} =k^{2} \Leftrightarrow k^{3} - k^{2} - 2k=0 \Leftrightarrow k=2$ Отсюда x = 3, y =