В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на диагонали BD₁ отмечена

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Точка O — середина диагоналей CB₁ и BC₁ прямоугольника BCC₁B₁ (см. рис.). Следовательно, точка O лежит в плоскости ABC₁. Треугольники AD₁N и OBN подобны по двум сторонам и углу между ними, значит, $\frac{AD_1}{BO} = 2 = \frac{D_1N}{BN}$ и $\angle AD_1N = \angle AD_1B = \angle D_1BC_1 = \angle NBO$ Следовательно, $\angle ANO = \angle AND_1 + \angle D_1NO = \angle ONB + \angle D_1NO = \angle D_1NB = 180^{\circ}$ Таким образом, точка A лежит на прямой NO.б) Прямые BD₁ и CB₁ — скрещивающиеся, а длина отрезка NO равна расстоянию между ними, значит, он перпендикулярен обеим этим прямым. Таким образом, прямая CB₁ перпендикулярна плоскости ABC₁, поскольку она перпендикулярна лежащим в ней прямым AB и AO. Следовательно, диагонали прямоугольника BCC₁B₁ перпендикулярны, то есть он является квадратом. Из подобия треугольников AD₁N и OBN следует, что $AN = 2NO = 2 \sqrt{2}$ Отрезок BN — высота прямоугольного треугольника ABO (см. рис.). Получаем: [рисунок] $BN = \sqrt{AN \cdot NO} = 2,$ $BD_1 = 6,$ $BO = \sqrt{BN^{2} + NO^{2}} = \sqrt{6} ,$ $AB = \sqrt{AO^{2} - OB^{2}} = 2 \sqrt{3}$ Значит, $BC = BB_1 = \sqrt{2} \cdot BO = 2 \sqrt{3}$ Таким образом, в прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны $2 \sqrt{3}$ Следовательно, его объём равен $24 \sqrt{3}$