Дана правильная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребрах CD, CC₁ и A₁B₁ отметили

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Из условия следует параллельность прямых AM и KL. Прямая ML пересекает плоскость ABCD, в которой лежит прямая AK, а значит, параллельными эти прямые быть не могут. Прямоугольные треугольники AA₁M и LCK подобны по острому углу, откуда $\frac{LC}{AA_1} = \frac{KC}{A_1M}$ Длина отрезка KC втрое меньше длины ребра призмы, а длина отрезка A₁M — вдвое меньше. Значит, $LC = \frac{2}{3} AA_1,$ то есть $LC = \frac{2}{3} CC_1$ и $CL = 2LC_1$ б) Пусть $AD = 6x$ По теореме Пифагора в треугольниках ADK, MB₁C₁, MC₁L соответственно находим: $AK = \sqrt{AD^{2} + DK^{2}} = \sqrt{36x^{2} + 16x^{2}} = 2 \sqrt{13} x,$ $MC_1 = \sqrt{MB_1^{2} + B_1C_1^{2}} = \sqrt{9x^{2} + 36x^{2}} = 3 \sqrt{5} x,$ $ML = \sqrt{MC_1^{2} + LC_1^{2}} = \sqrt{45x^{2} + \frac{49}{9}}$ Из равенства $AK = ML$ получаем уравнение: $2 \sqrt{13} x = \sqrt{45x^{2} + \frac{49}{9}} \Leftrightarrow 52x^{2} = 45x^{2} + \frac{49}{9} \Leftrightarrow 7x^{2} = \frac{49}{9} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{7}{9} \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{7}}{3}$ $2 \sqrt{13} x = \sqrt{45x^{2} + \frac{49}{9}} \Leftrightarrow 52x^{2} = 45x^{2} + \frac{49}{9} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 7x^{2} = \frac{49}{9} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{7}{9} \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{7}}{3}$ Найдем объем призмы: $V = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 6x \cdot 6x \cdot 7 = 2 \sqrt{7} \cdot 2 \sqrt{7} \cdot 7 = 196$