Найти длину суммы векторов, если известны их длины и угол между ними

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Скалярное произведение через длины и угол

   По определению $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi$. Так как $\cos 120^\circ=-\frac{1}{2}$, получаем $\vec{a}\cdot\vec{b}=5\cdot 8\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-20$ (см$^2$). Отрицательный знак — верный признак тупого угла.

2. 2

   Шаг 2. Квадрат длины как скалярный квадрат

   Ключевой приём: длину суммы ищут через её скалярный квадрат, ведь $|\vec{c}|^2=\vec{c}\cdot\vec{c}$. Раскроем скобки как обычный квадрат суммы: $|\vec{a}+\vec{b}|^2=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^2+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$.