Геометрия·Стереометрия·10–11 класс

Найдите угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью основания, если стороны основания 3 см и 4 см, а диагональ 10 см

Условие

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 4 см, а его диагональ равна 10 см. Найдите высоту параллелепипеда и угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.

Ответ

Высота $5\sqrt{3} \approx 8{,}7$ см; угол равен $60^\circ$ .

Решение по шагам

Шаг 1. Что такое угол между прямой и плоскостью
Пусть параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ , основание $ABCD$ со сторонами $AB = 4$ см и $AD = 3$ см, диагональ $AC_1 = 10$ см.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

Вершина $C_1$ проецируется в вершину $C$ (ребро $CC_1$ перпендикулярно основанию). Значит, проекция диагонали $AC_1$ на плоскость основания — это диагональ основания $AC$ , и искомый угол — это $\angle C_1AC$ .

Треугольник $ACC_1$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$ .
Шаг 2. Находим диагональ основания
Основание — прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. По теореме Пифагора:
$AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}.$
Теперь в прямоугольном треугольнике $ACC_1$ мы знаем гипотенузу $AC_1 = 10$ см и прилежащий к искомому углу катет $AC = 5$ см. Этого уже достаточно, чтобы найти и второй катет (высоту), и сам угол.

Осталось ещё 3 шага — откроются после входа:

Шаг 3. Высота параллелепипеда
Шаг 4. Сам угол
Шаг 5. Проверка и здравый смысл

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Частые ошибки

Берут угол между диагональю и боковым ребром (он равен $30^\circ$ ) и записывают его как ответ вместо $60^\circ$ — это угол с вертикалью, а не с плоскостью.
Проецируют диагональ на сторону основания, а не на диагональ $AC$ , и считают угол в неправильном треугольнике.
Путают катеты: пишут $\cos\alpha = \frac{5\sqrt3}{10}$ (это синус) и получают $30^\circ$ .
Пытаются найти высоту как $10-5=5$ , забывая, что складываются квадраты, а не сами длины.

Другие задачи по теме «Стереометрия»

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 20 см, 30 см и 60 см10–11 классНайдите объём и площадь полной поверхности цилиндра с радиусом 5 см и высотой 12 см10–11 классНайдите объём конуса, если радиус основания 9 см, а образующая 15 см10–11 классНайдите объём и боковую поверхность правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 12 см и высотой 8 см10–11 классНайдите объём правильной шестиугольной призмы со стороной основания 4 см и высотой 10 см10–11 класс

Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же