Найдите объём и боковую поверхность правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 12 см и высотой 8 см

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Что значит «правильная» и какие формулы нужны

   Пирамида правильная, значит основание — квадрат, а вершина проецируется точно в центр квадрата (точку пересечения диагоналей).

   Нужные формулы:

   $$V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h,\qquad S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P_{\text{осн}}\, m,$$

   где $m$ — апофема, то есть высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания.

   Важно не путать апофему $m$ с боковым ребром: апофема идёт в середину стороны основания, ребро — в вершину основания. Ребро всегда длиннее.

2. 2

   Шаг 2. Разбираем чертёж и готовим данные

   Обозначим пирамиду $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат со стороной 12 см, а $O$ — его центр. Высота $SO = 8$ см перпендикулярна основанию.

   Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Тогда $SM$ и есть апофема. Отрезок $OM$ соединяет центр квадрата с серединой его стороны, поэтому он равен половине стороны:

   $$OM = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}.$$

   Треугольник $SOM$ — прямоугольный с прямым углом при $O$: именно из него мы и достанем апофему.

   Сразу посчитаем то, что понадобится дальше:

   $$S_{\text{осн}} = 12^2 = 144 \text{ см}^2,\qquad P_{\text{осн}} = 4\cdot 12 = 48 \text{ см}.$$