Найдите объём правильной шестиугольной призмы со стороной основания 4 см и высотой 10 см

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Разбиваем правильный шестиугольник на треугольники

   Правильный шестиугольник со стороной $a$ разбивается отрезками, проведёнными из центра в вершины, на шесть равносторонних треугольников со стороной $a$ (центральный угол каждого равен $360^\circ : 6 = 60^\circ$, а стороны, идущие из центра, равны между собой — значит, треугольники равносторонние).

   Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$:

   $$S_\triangle = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

   Значит, площадь шестиугольника:

   $$S_{\text{осн}} = 6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2.$$
2. 2

   Шаг 2. Элементы основания и план решения

   Дано: $a = 4$ см, $h = 10$ см. Выпишем то, что пригодится:

   • радиус описанной окружности равен стороне: $R = a = 4$ см (следует из разбиения на равносторонние треугольники);
   • апофема шестиугольника (радиус вписанной окружности) — высота такого треугольника: $\frac{a\sqrt3}{2} = 2\sqrt3 \approx 3{,}46$ см;
   • периметр основания: $P_{\text{осн}} = 6a = 6\cdot 4 = 24$ см.

   План: сначала площадь основания по формуле из шага 1, затем объём $V = S_{\text{осн}} h$ и боковая поверхность $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} h$. Важно: у призмы в этих формулах нет множителя $\frac13$ — он появляется только у пирамид и конусов.