Найдите объём конуса, если радиус основания 9 см, а образующая 15 см

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Осевое сечение и связь R, h, l

   Разрежем конус плоскостью, проходящей через ось. В сечении получится равнобедренный треугольник: основание равно диаметру $2R$, а боковые стороны — образующие $l$.

   Высота конуса $h$ — это высота этого треугольника, опущенная на основание. Она делит его на два прямоугольных треугольника с катетами $R$ и $h$ и гипотенузой $l$. Отсюда ключевое соотношение:

   $$l^2 = R^2 + h^2.$$

   Формулы, которые понадобятся:

   $$V = \frac{1}{3}\pi R^2 h,\qquad S_{\text{бок}} = \pi R l.$$

   Обратите внимание: в объёме стоит высота, а в боковой поверхности — образующая. Это разные величины.

2. 2

   Шаг 2. Что дано и с чего начать

   Дано: $R = 9$ см, $l = 15$ см. Высота напрямую не дана, поэтому план такой:

   1. из соотношения $l^2 = R^2 + h^2$ выразим и найдём высоту $h = \sqrt{l^2 - R^2}$;
   2. подставим её в формулу объёма;
   3. боковую поверхность посчитаем сразу по $R$ и $l$ — высота там не нужна.

   Сразу выпишем площадь основания, она понадобится в объёме:

   $$S_{\text{осн}} = \pi R^2 = \pi\cdot 9^2 = 81\pi \text{ см}^2.$$

   Ориентир для самоконтроля: образующая — гипотенуза, поэтому высота обязана оказаться меньше 15 см.