Найдите радиус шара, вписанного в конус с радиусом основания 6 см и образующей 10 см

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Переходим от стереометрии к планиметрии

   Рассечём конус вместе с вписанным шаром плоскостью, проходящей через ось.

   • Конус даст равнобедренный треугольник: основание $2R = 12$ см, боковые стороны — образующие по 10 см.
   • Шар даст круг, который касается всех трёх сторон этого треугольника (основания — потому что шар лежит на дне, и обеих боковых сторон — потому что он касается боковой поверхности).

   Значит, радиус вписанного шара равен радиусу вписанной окружности осевого сечения. Задача свелась к плоской:

   $$r = \frac{S}{p},$$

   где $S$ — площадь треугольника, $p$ — его полупериметр.

2. 2

   Шаг 2. Высота конуса и площадь осевого сечения

   Высота конуса — она же высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание:

   $$h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}.$$

   Теперь площадь осевого сечения — треугольника с основанием $2R = 12$ см и высотой 8 см:

   $$S = \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8 = 48 \text{ см}^2.$$

   Обратите внимание: основание сечения — это диаметр (12 см), а не радиус, и высота треугольника — это высота конуса (8 см), а не образующая.