Найдите расстояние от вершины куба до плоскости сечения A1BD, если ребро куба 6 см

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Идея: расстояние через объём тетраэдра

   Точки $A$, $A_1$, $B$, $D$ задают треугольную пирамиду (тетраэдр) $AA_1BD$. Искомое расстояние $d$ от вершины $A$ до плоскости $A_1BD$ — это высота этого тетраэдра, опущенная на грань $A_1BD$.

   Объём тетраэдра можно посчитать двумя способами:

   $$V = \frac{1}{3}S_{ABD}\cdot AA_1 \quad\text{и}\quad V = \frac{1}{3}S_{A_1BD}\cdot d.$$

   Приравнивая, получаем рабочую формулу:

   $$d = \frac{3V}{S_{A_1BD}}.$$

   Этот приём («метод объёмов») почти всегда проще, чем строить перпендикуляр вручную.

2. 2

   Шаг 2. Объём тетраэдра AA_1BD

   В вершине $A$ сходятся три взаимно перпендикулярных ребра куба: $AB$, $AD$, $AA_1$, каждое по 6 см.

   Возьмём за основание прямоугольный треугольник $ABD$ с катетами $AB = AD = 6$ см:

   $$S_{ABD} = \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6 = 18 \text{ см}^2.$$

   Ребро $AA_1 = 6$ см перпендикулярно плоскости $ABD$, значит оно и есть высота:

   $$V = \frac{1}{3}\cdot 18\cdot 6 = 36 \text{ см}^3.$$

   (Это ровно шестая часть куба: $\frac{6^3}{6} = 36$ см³.)