Найдите площадь трапеции, если диагонали разбивают её на треугольники с площадями 9 см² и 25 см²

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Находим подобные треугольники

   Диагонали делят трапецию на четыре треугольника: $BOC$ и $AOD$ (они «смотрят» на основания) и два боковых — $AOB$ и $COD$.

   Так как $BC\parallel AD$, то при секущей $AC$ углы $\angle OCB=\angle OAD$, а при секущей $BD$ углы $\angle OBC=\angle ODA$ (накрест лежащие). Значит,

   $$\triangle BOC\sim\triangle DOA$$

   У подобных треугольников площади относятся как квадрат коэффициента подобия.

2. 2

   Шаг 2. Находим коэффициент подобия

   $$k^2=\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=\frac{9}{25}\ \Rightarrow\ k=\frac{3}{5}$$

   Отсюда сразу получаем отношения отрезков:

   $$\frac{BC}{AD}=\frac{BO}{OD}=\frac{CO}{OA}=\frac{3}{5}$$

   То есть точка пересечения делит каждую диагональ в отношении $3:5$, считая от меньшего основания. Осталось найти площади двух боковых треугольников.