Присоединиться

Геометрия·Окружность·8–9 класс

Найдите длину общей внешней касательной двух касающихся окружностей радиусов 12 и 3 см

Условие

Две окружности с центрами O1O_1 и O2O_2 и радиусами 1212 см и 33 см касаются друг друга внешним образом. К ним проведена общая внешняя касательная, которая касается первой окружности в точке MM, а второй — в точке NN. Найдите длину отрезка MNMN.

Ответ

MN = 12 см

Решение по шагам

  1. Шаг 1. Найдите расстояние между центрами

    При внешнем касании точка касания лежит на отрезке O1O2O_1O_2, и расстояние между центрами равно сумме радиусов:

    O1O2=R+r=12+3=15 см.O_1O_2=R+r=12+3=15\ \text{см}.

    (Если бы касание было внутренним, было бы O1O2=R−rO_1O_2=R-r — это другая задача.)

  2. Шаг 2. Постройте прямоугольный треугольник

    Радиусы в точки касания перпендикулярны касательной: O1M⊥MNO_1M\perp MN и O2N⊥MNO_2N\perp MN. Значит, O1M∥O2NO_1M\parallel O_2N и O1MNO2O_1MNO_2 — прямоугольная трапеция с основаниями 1212 см и 33 см.

    Опустим из центра меньшей окружности перпендикуляр O2KO_2K на прямую O1MO_1M. Тогда MNO2KMNO_2K — прямоугольник, поэтому

    O2K=MN,MK=O2N=3 см,O1K=R−r=12−3=9 см.O_2K=MN,\qquad MK=O_2N=3\ \text{см},\qquad O_1K=R-r=12-3=9\ \text{см}.

Осталось ещё 3 шага — откроются после входа:

  • Шаг 3. Примените теорему Пифагора
  • Шаг 4. Проверьте по общей формуле
  • Шаг 5. Убедитесь в разумности ответа
Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Частые ошибки

  • Берут катетом сумму радиусов: 152−152=0\sqrt{15^2-15^2}=0 — катетом служит именно разность R−r=9R-r=9 см, а гипотенузой сумма R+r=15R+r=15 см.

  • Путают вид касания и берут O1O2=12−3=9O_1O_2=12-3=9 см (это случай внутреннего касания).

  • Подставляют в теорему Пифагора сами радиусы: 122−32=135\sqrt{12^2-3^2}=\sqrt{135} — в треугольнике O1KO2O_1KO_2 участвуют расстояние между центрами 1515 см и разность радиусов 99 см.

  • Считают, что точка касания окружностей лежит на отрезке MNMN и делит его пополам: она лежит на линии центров, а пополам MNMN делит общая касательная, проведённая в этой точке.

Другие задачи по теме «Окружность»

Найдите вписанный угол, если центральный угол равен 116°8–9 классНайдите расстояние от точки до центра окружности, если касательная равна 24 см8–9 классНайдите расстояние от центра окружности до хорды 16 см, если радиус 10 см8–9 классХорды пересекаются: AM = 4 см, MB = 9 см, CM = 3 см — найдите MD и CD8–9 классНайдите углы вписанного четырёхугольника, если ∠A = 78° и ∠B = 105°8–9 класс
Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же