Автомат забраковал лампу: найдите вероятность, что она действительно бракованная (формула Байеса)

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Введём события и выпишем все данные

   $H_1$ — «лампа бракованная», $P(H_1)=0{,}1$;

   $H_2$ — «лампа исправная», $P(H_2)=0{,}9$;

   $B$ — «автомат забраковал лампу».

   Из условия: $P(B\mid H_1)=0{,}9$ (брак обнаружен), $P(B\mid H_2)=0{,}05$ (ложное срабатывание на исправной). Обратите внимание: $0{,}9$ и $0{,}05$ не обязаны в сумме давать 1 — это вероятности из разных групп.

2. 2

   Шаг 2. Поймём, какую именно вероятность спрашивают

   Спрашивают не «с какой вероятностью автомат забракует брак» (это данные $0{,}9$), а обратное: лампа уже забракована — какова вероятность, что она бракованная. Это условная вероятность

   $P(H_1\mid B) = \frac{P(H_1)\cdot P(B\mid H_1)}{P(B)}$,

   где знаменатель $P(B)$ находится по формуле полной вероятности: забраковать автомат может и настоящий брак, и исправную лампу по ошибке. Путать $P(H_1\mid B)$ и $P(B\mid H_1)$ — главная ловушка задачи.