10–11 класс·средний уровень

Решить уравнение 2 sin²x − 3 cos x = 0

Условие

Решите уравнение 2 sin²x − 3 cos x = 0 и запишите все его корни в общем виде.

Ответ и полный разбор откроются после входа

Шаг 1. Сводим уравнение к одной функции
В уравнении есть квадрат синуса и первая степень косинуса. Квадрат легко превращается в косинус по основному тождеству: $\sin^2x=1-\cos^2x$ . Обратный переход был бы хуже: пришлось бы извлекать корень из косинуса.
Шаг 2. Делаем замену и получаем квадратное уравнение
Подставляем: $2(1-\cos^2x)-3\cos x=0$ , то есть $2-2\cos^2x-3\cos x=0$ . Умножим на $-1$ и упорядочим: $2\cos^2x+3\cos x-2=0$ . Обозначим $t=\cos x$ , причём обязательно помним ограничение $-1\le t\le1$ .

Осталось ещё 3 шага

Бесплатно · займёт минуту

Написать $\sin^2x=1+\cos^2x$ вместо $1-\cos^2x$ и получить неверное квадратное уравнение.
Оставить корень $\cos x=-2$ и пытаться вычислить для него арккосинус.
Записать ответ одной серией $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$ или, наоборот, $x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$ — период у косинуса равен $2\pi$ , и вторая серия со знаком минус нужна.