Математика·Тригонометрия·10–11 класс

Как решить уравнение 2 sin x + 1 = 0 и отобрать корни на отрезке от 0 до 2π

Условие

Решите уравнение 2 sin x + 1 = 0, записав все его корни в общем виде, и выпишите те корни, которые попадают в отрезок от 0 до 2π радиан включительно.

$x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ ; на отрезке $[0;2\pi]$ это $\frac{7\pi}{6}$ и $\frac{11\pi}{6}$

Шаг 1. Приводим к простейшему уравнению
Переносим единицу вправо и делим на 2: $2\sin x=-1$ , значит $\sin x=-\dfrac{1}{2}$ . Так как $\left|-\frac{1}{2}\right|\le1$ , корни существуют.
Шаг 2. Понимаем, где искать точки на единичной окружности
Синус — это ордината точки окружности. Прямая $y=-\dfrac{1}{2}$ пересекает единичную окружность ровно в двух точках, симметричных относительно вертикальной оси; обе лежат ниже горизонтальной оси, то есть в третьей и четвёртой четвертях. Опорным («табличным») углом для них служит $\arcsin\dfrac{1}{2}=\dfrac{\pi}{6}$ — от него и будем отсчитывать.

Осталось ещё 3 шага — откроются после входа:

Бесплатно · займёт минуту

Записать только одну серию $x=\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)+2\pi n$ и потерять вторую точку окружности.
Считать, что $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{7\pi}{6}$ : арксинус всегда лежит в промежутке $\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$ , поэтому он равен $-\frac{\pi}{6}$ .
Оставить в ответе на отрезке значение $-\frac{\pi}{6}$ , забыв прибавить полный оборот.