Математика·Тригонометрия·10–11 класс

sin α + cos α = 0,2 — найти sin 2α

Условие

Сумма синуса и косинуса некоторого угла α равна 0,2. Найдите синус двойного угла, то есть значение sin 2α.

$\sin2\alpha=-0{,}96$

Шаг 1. Понимаем, чего не хватает в условии
Нужен $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ , то есть удвоенное произведение синуса и косинуса. В условии дана их сумма. Произведение из суммы получают возведением в квадрат — на этом и строится решение, отдельно находить $\alpha$ не нужно.
Шаг 2. Возводим обе части равенства в квадрат
$(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=0{,}2^2$ . Раскрываем квадрат суммы полностью, не теряя средний член: $\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=0{,}04$ .

Осталось ещё 3 шага — откроются после входа:

Бесплатно · займёт минуту

Возвести в квадрат «почленно»: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=0{,}04$ — тогда получается противоречие с основным тождеством.
Забыть про минус и записать $\sin2\alpha=0{,}96$ : из $1+x=0{,}04$ следует именно $x=-0{,}96$ .
Решить, что задача неразрешима без нахождения самого угла α, и начать искать α численно.