10–11 класс·высокий уровень

Чему равна сумма arctg 1/2 + arctg 1/3

Условие

Найдите точное значение суммы arctg (1/2) + arctg (1/3): докажите, что она равна табличному углу, и запишите этот угол в радианах и в градусах.

Ответ и полный разбор откроются после входа

Шаг 1. Вводим обозначения и записываем, что они значат
Пусть $\alpha=\mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{2}$ и $\beta=\mathrm{arctg}\,\dfrac{1}{3}$ . По определению арктангенса это означает: $\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{1}{2}$ , $\mathrm{tg}\,\beta=\dfrac{1}{3}$ , причём оба угла лежат в промежутке $\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ . Так как аргументы положительны, оба угла положительны. Ищем сумму $\alpha+\beta$ .
Шаг 2. Вспоминаем формулу тангенса суммы
$\mathrm{tg}(\alpha+\beta)=\dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha+\mathrm{tg}\,\beta}{1-\mathrm{tg}\,\alpha\cdot\mathrm{tg}\,\beta}$ . В знаменателе стоит именно минус, и формулой можно пользоваться, пока знаменатель не равен нулю. Здесь произведение тангенсов равно $\frac{1}{6}\ne1$ , так что всё в порядке.

Осталось ещё 3 шага

Бесплатно · займёт минуту

Сложить аргументы: $\mathrm{arctg}\,\frac{1}{2}+\mathrm{arctg}\,\frac{1}{3}\ne\mathrm{arctg}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)$ — арктангенс не аддитивен.
Взять в знаменателе формулы плюс вместо минуса и получить $\frac{5/6}{7/6}=\frac{5}{7}$ , то есть «некрасивый» угол.
Остановиться на равенстве $\mathrm{tg}(\alpha+\beta)=1$ и записать ответ $\frac{\pi}{4}+\pi k$ или $\frac{5\pi}{4}$ : сумма двух арктангенсов — конкретное число, и нужно обосновать, что она лежит в интервале $\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$ .