Математика·Тригонометрия·10–11 класс

Решить 2cos²x + cos(π/2 + x) − 1 = 0 и отобрать корни на отрезке

Условие

Решите уравнение 2cos²x + cos(π/2 + x) − 1 = 0, а затем укажите все его корни, принадлежащие отрезку от π до 5π/2 радиан.

Ответ

$x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi n$ , $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n$ , $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$ , $n\in\mathbb{Z}$ ; на отрезке $\left[\pi;\dfrac{5\pi}{2}\right]$ — это $\dfrac{3\pi}{2}$ и $\dfrac{13\pi}{6}$

Решение по шагам

Шаг 1. Убираем формулу приведения
Раскроем $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)$ по формуле косинуса суммы: $\cos\frac{\pi}{2}\cos x-\sin\frac{\pi}{2}\sin x=0\cdot\cos x-1\cdot\sin x=-\sin x$ . Уравнение принимает вид $2\cos^2x-\sin x-1=0$ .
Шаг 2. Сводим всё к синусу
Заменяем $\cos^2x=1-\sin^2x$ : $2(1-\sin^2x)-\sin x-1=0$ , то есть $2-2\sin^2x-\sin x-1=0$ . После умножения на $-1$ получаем аккуратное квадратное уравнение относительно $t=\sin x$ : $2t^2+t-1=0$ , где $-1\le t\le1$ .

Осталось ещё 3 шага — откроются после входа:

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение
Шаг 4. Выписываем серии корней
Шаг 5. Отбираем корни на отрезке

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Частые ошибки

Ошибиться в формуле приведения и взять $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sin x$ вместо $-\sin x$ — дальше всё решение уйдёт в другую сторону.
Потерять серию $\sin x=-1$ , посчитав корень $t=-1$ «посторонним»: он допустим, ведь $|-1|\le1$ .
Отбирать корни по объединённой формуле $(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k$ — на отрезке легко запутаться в чередовании знаков; надёжнее две отдельные серии или единичная окружность.
Включить в ответ $\frac{17\pi}{6}\approx8{,}9$ , не сравнив его с правым концом $\frac{5\pi}{2}\approx7{,}85$ .

Другие задачи по теме «Тригонометрия»

Найти cos α и tg α, если sin α = −0,6 и угол в третьей четверти10–11 классКак решить уравнение 2 sin x + 1 = 0 и отобрать корни на отрезке от 0 до 2π10–11 классЧему равно sin 75° cos 15° − cos 75° sin 15°10–11 классsin α + cos α = 0,2 — найти sin 2α10–11 классРешить уравнение 2 sin²x − 3 cos x = 010–11 класс

Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же