10–11 класс·высокий уровень

Решить 2cos²x + cos(π/2 + x) − 1 = 0 и отобрать корни на отрезке

Условие

Решите уравнение 2cos²x + cos(π/2 + x) − 1 = 0, а затем укажите все его корни, принадлежащие отрезку от π до 5π/2 радиан.

Ответ и полный разбор откроются после входа

Шаг 1. Убираем формулу приведения
Раскроем $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)$ по формуле косинуса суммы: $\cos\frac{\pi}{2}\cos x-\sin\frac{\pi}{2}\sin x=0\cdot\cos x-1\cdot\sin x=-\sin x$ . Уравнение принимает вид $2\cos^2x-\sin x-1=0$ .
Шаг 2. Сводим всё к синусу
Заменяем $\cos^2x=1-\sin^2x$ : $2(1-\sin^2x)-\sin x-1=0$ , то есть $2-2\sin^2x-\sin x-1=0$ . После умножения на $-1$ получаем аккуратное квадратное уравнение относительно $t=\sin x$ : $2t^2+t-1=0$ , где $-1\le t\le1$ .

Осталось ещё 3 шага

Бесплатно · займёт минуту

Ошибиться в формуле приведения и взять $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sin x$ вместо $-\sin x$ — дальше всё решение уйдёт в другую сторону.
Потерять серию $\sin x=-1$ , посчитав корень $t=-1$ «посторонним»: он допустим, ведь $|-1|\le1$ .
Отбирать корни по объединённой формуле $(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k$ — на отрезке легко запутаться в чередовании знаков; надёжнее две отдельные серии или единичная окружность.
Включить в ответ $\frac{17\pi}{6}\approx8{,}9$ , не сравнив его с правым концом $\frac{5\pi}{2}\approx7{,}85$ .