Математика·Степени и корни·8–10 класс

√(7+4√3) − √(7−4√3) — как раскрыть сложный радикал

Условие

Вычислите значение выражения $\sqrt{7+4\sqrt{3}}-\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ и запишите ответ в виде $k\sqrt{3}$ .

$2\sqrt{3}$

Шаг 1. Идея: свернуть подкоренное выражение в полный квадрат
Двойной (сложный) радикал раскрывается, если под корнем спрятан квадрат суммы или разности:

$(x\pm y)^{2}=x^{2}\pm 2xy+y^{2}$ .

Ищем такие $x$ и $y$ , чтобы $7+4\sqrt{3}=(x+y)^{2}$ , причём одно из чисел будет целым, а другое — содержать $\sqrt{3}$ .
Шаг 2. Разбираем слагаемое с корнем как удвоенное произведение
Слагаемое $4\sqrt{3}$ должно играть роль $2xy$ : $4\sqrt{3}=2\cdot 2\cdot\sqrt{3}$ , откуда напрашивается $x=2$ , $y=\sqrt{3}$ .

Проверяем «целую часть»: $x^{2}+y^{2}=2^{2}+(\sqrt{3})^{2}=4+3=7$ — ровно то, что стоит под корнем. Подбор удачный.

Осталось ещё 3 шага — откроются после входа:

Бесплатно · займёт минуту

Разбивают корень из суммы: $\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{7}+\sqrt{4\sqrt{3}}$ — такого правила не существует, распадается только корень из произведения.
Снимают квадрат без модуля и пишут $\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{3}-2$ ; арифметический корень отрицательным быть не может.
Решают, что оба корня равны, и получают в ответе 0.
При раскрытии скобок теряют знак: $2+\sqrt{3}-2-\sqrt{3}=0$ вместо $2\sqrt{3}$ .
Подбирают $x$ и $y$ наугад, не проверяя оба условия сразу: должно выполняться и $x^{2}+y^{2}=7$ , и $2xy=4\sqrt{3}$ .