8–10 класс·высокий уровень

Что больше: 2^300 или 3^200

Условие

Сравните числа $2^{300}$ и $3^{200}$ , не вычисляя их значений и не пользуясь калькулятором. В ответе укажите, какое из чисел больше.

Ответ и полный разбор откроются после входа

Шаг 1. Понимаем, почему нельзя считать напрямую
В каждом из чисел больше девяноста разрядов: $2^{10}\approx 10^{3}$ , значит $2^{300}\approx 10^{90}$ . Выписать их невозможно, да и не нужно.

Основания разные (2 и 3), показатели разные (300 и 200), поэтому напрямую сравнивать нечего. Нужен приём: сделать одинаковым либо основание, либо показатель.
Шаг 2. Выравниваем показатели по общему делителю
Показатели 300 и 200 имеют общий делитель 100 — вынесем его наружу по правилу $a^{kp}=\left(a^{k}\right)^{p}$ :

$2^{300}=2^{3\cdot 100}=\left(2^{3}\right)^{100}$ ,

$3^{200}=3^{2\cdot 100}=\left(3^{2}\right)^{100}$ .

Теперь у обоих чисел один и тот же показатель 100, а основания стали маленькими.

Осталось ещё 3 шага

Бесплатно · займёт минуту

Сравнивают по показателю: «300 больше 200, значит и число больше» — при разных основаниях это ничего не доказывает.
Сравнивают по основанию: «3 больше 2, значит $3^{200}$ больше» — вывод случайно верный, но обоснования нет; для $2^{300}$ и $3^{100}$ он привёл бы к ошибке.
Группируют показатели по-разному, например $2^{300}=\left(2^{100}\right)^{3}$ и $3^{200}=\left(3^{100}\right)^{2}$ : показатели снаружи получились разные, сравнивать так нельзя.
Пробуют посчитать числа приближённо и ошибаются в порядке величины.