Присоединиться

Математика·Производная·10–11 класс

Уравнение касательной к графику функции f(x) = x² − 4x + 5 в точке x₀ = 4

Условие

Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 4x + 5$ в точке с абсциссой $x_0 = 4$ и запишите его в виде $y = kx + b$ .

Ответ

$y = 4x - 11$ (угловой коэффициент $k = 4$ , точка касания $(4;\,5)$ )

Решение по шагам

1
Шаг 1. Вспоминаем формулу касательной
Касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задаётся формулой

$y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0).$

Здесь два разных числа, и оба берутся в одной и той же точке $x_0 = 4$ :
- $f(x_0)$ — ордината точки касания (где касательная «прилипает» к графику);
- $f'(x_0)$ — угловой коэффициент $k$ , то есть наклон прямой.
Значит, план решения: найти $f(4)$ , найти $f'(x)$ , вычислить $f'(4)$ , подставить всё в формулу и раскрыть скобки.
Шаг 2. Находим точку касания
Подставляем $x_0 = 4$ в саму функцию:

$f(4) = 4^2 - 4\cdot 4 + 5 = 16 - 16 + 5 = 5.$

Точка касания — $(4;\,5)$ . Это уже полезный промежуточный результат: какое бы уравнение вы ни получили в конце, координаты $(4;\,5)$ обязаны в него подойти. Если после всех преобразований при $x = 4$ получится не $5$ — где-то арифметическая ошибка.

Осталось ещё 3 шага — откроются после входа:

Шаг 3. Находим производную и угловой коэффициент
Шаг 4. Подставляем в формулу и приводим к виду y = kx + b
Шаг 5. Проверка: касание должно быть в одной точке

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Частые ошибки

Путают $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ : угловой коэффициент здесь $4$ , а $5$ — это ордината точки касания, а не наклон.
Пишут $y = f'(x_0)\cdot x + f(x_0)$ , то есть $y = 4x + 5$ : теряется сдвиг $(x - x_0)$ .
Ошибаются со знаком при раскрытии скобок: $4(x-4) = 4x - 16$ , поэтому $b = 5 - 16 = -11$ , а не $+21$ .
Подставляют в формулу не число $f'(x_0)$ , а всю функцию $f'(x)$ : получается $y = 5 + (2x-4)(x-4)$ — это парабола, а не прямая.
Забывают, что $(5)' = 0$ , и получают производную $2x - 4 + 5$ .

Другие задачи по теме «Производная»

Найдите производную функции f(x) = x² + 3x10–11 классНайдите производную функции f(x) = sin(2x)10–11 классНайдите производную функции f(x) = x·ln(x)10–11 классНайдите производную функции f(x) = 3x³ − 5x² + 710–11 классНайдите производную функции f(x) = 2x³ − 5x² + 4x − 7 и вычислите f′(2)10–11 класс

Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же