Найдите производную функции f(x) = 2x³ − 5x² + 4x − 7 и вычислите f′(2)

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Собираем правила, которых хватит для любого многочлена

   Многочлен — это сумма слагаемых вида $a\cdot x^n$, поэтому нужны всего четыре правила:

   1. производная суммы: $(u + v)' = u' + v'$;
   2. постоянный множитель выносится: $(a\cdot u)' = a\cdot u'$;
   3. степенная функция: $(x^n)' = n\cdot x^{\,n-1}$;
   4. производная числа: $(C)' = 0$.

   Отдельно запомним частный случай третьего правила при $n = 1$: $(x)' = 1$.

2. 2

   Шаг 2. Разбиваем функцию на слагаемые и разбираем механику на одном из них

   Записываем $f$ как сумму четырёх слагаемых: $2x^3$, $-5x^2$, $4x$, $-7$. По правилу суммы каждое дифференцируется отдельно, знаки сохраняются.

   Покажем механику на первом слагаемом:

   $(2x^3)' = 2\cdot(x^3)' = 2\cdot 3x^{2} = 6x^2.$

   То есть показатель степени «спускается» вниз множителем, а сам показатель уменьшается на единицу. Остальные три слагаемых обрабатываются точно так же — попробуйте сделать это самостоятельно, прежде чем открывать следующий шаг.