Математика·Производная·10–11 класс

Коробка из квадратного листа жести 24 см: при каком x объём наибольший

Условие

Из квадратного листа жести со стороной 24 см делают открытую сверху коробку: в каждом углу вырезают одинаковый квадрат со стороной $x$ см, а четыре получившихся борта загибают вверх под прямым углом. При каком значении $x$ объём коробки будет наибольшим и чему равен этот наибольший объём? Толщиной жести пренебречь.

Ответ

$x = 4$ см, наибольший объём $V = 1024$ см³ (дно 16 см × 16 см, высота 4 см)

Решение по шагам

Шаг 1. Составляем функцию объёма и её область определения
Каждая сторона листа теряет по два вырезанных квадрата — по одному с каждого конца, поэтому сторона дна равна

$24 - 2x$ (см),

а высота коробки равна высоте загнутого борта, то есть $x$ см. Дно — квадрат, значит объём

$V(x) = x\,(24 - 2x)^2$ (объём в см³).

Ограничения по смыслу: вырезать надо что-то ненулевое, $x > 0$ ; дно должно существовать, $24 - 2x > 0$ , то есть $x < 12$ . Итог: $0 < x < 12$ .
Шаг 2. Намечаем план и дифференцируем произведение
Функция $V$ непрерывна на промежутке $(0;\,12)$ , а на его концах объём стремится к нулю (при $x \to 0$ нет высоты, при $x \to 12$ нет дна). Значит наибольшее значение достигается внутри промежутка — в точке, где $V'(x) = 0$ .

Дифференцируем как произведение $u\cdot v$ с $u = x$ и $v = (24-2x)^2$ , причём $v$ берём по правилу сложной функции:

$\big((24-2x)^2\big)' = 2(24-2x)\cdot(24-2x)' = 2(24-2x)\cdot(-2).$

Поэтому

$V'(x) = 1\cdot(24-2x)^2 + x\cdot 2(24-2x)\cdot(-2).$

Множитель $(-2)$ из внутренней функции терять нельзя — именно он чаще всего и ломает решение.

Осталось ещё 3 шага — откроются после входа:

Шаг 3. Упрощаем производную и находим критические точки
Шаг 4. Проверяем знаки производной
Шаг 5. Считаем наибольший объём и проверяем ответ

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Частые ошибки

Берут сторону дна $24 - x$ вместо $24 - 2x$ : квадраты вырезаются с обоих концов каждой стороны.
При дифференцировании $(24-2x)^2$ забывают производную внутренней функции $(-2)$ и получают неверные корни.
Не выписывают область $0 < x < 12$ и принимают за ответ корень $x = 12$ , при котором объём равен нулю.
Останавливаются на $V'(x) = 0$ и не проверяют смену знака, из-за чего не отличают максимум от минимума.
В ответе записывают только $x = 4$ см или указывают объём в см² — нужны оба числа, причём объём в см³.
Пишут высоту коробки как $24 - 2x$ , а сторону дна как $x$ , то есть меняют местами множители в формуле объёма.

Другие задачи по теме «Производная»

Найдите производную функции f(x) = x² + 3x10–11 классНайдите производную функции f(x) = sin(2x)10–11 классНайдите производную функции f(x) = x·ln(x)10–11 классНайдите производную функции f(x) = 3x³ − 5x² + 710–11 классНайдите производную функции f(x) = 2x³ − 5x² + 4x − 7 и вычислите f′(2)10–11 класс

Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же