Коробка из квадратного листа жести 24 см: при каком x объём наибольший

Решение по шагам

1. 1

   Шаг 1. Составляем функцию объёма и её область определения

   Каждая сторона листа теряет по два вырезанных квадрата — по одному с каждого конца, поэтому сторона дна равна

   $24 - 2x$ (см),

   а высота коробки равна высоте загнутого борта, то есть $x$ см. Дно — квадрат, значит объём

   $V(x) = x\,(24 - 2x)^2$ (объём в см³).

   Ограничения по смыслу: вырезать надо что-то ненулевое, $x > 0$; дно должно существовать, $24 - 2x > 0$, то есть $x < 12$. Итог: $0 < x < 12$.

2. 2

   Шаг 2. Намечаем план и дифференцируем произведение

   Функция $V$ непрерывна на промежутке $(0;\,12)$, а на его концах объём стремится к нулю (при $x \to 0$ нет высоты, при $x \to 12$ нет дна). Значит наибольшее значение достигается внутри промежутка — в точке, где $V'(x) = 0$.

   Дифференцируем как произведение $u\cdot v$ с $u = x$ и $v = (24-2x)^2$, причём $v$ берём по правилу сложной функции:

   $\big((24-2x)^2\big)' = 2(24-2x)\cdot(24-2x)' = 2(24-2x)\cdot(-2).$

   Поэтому

   $V'(x) = 1\cdot(24-2x)^2 + x\cdot 2(24-2x)\cdot(-2).$

   Множитель $(-2)$ из внутренней функции терять нельзя — именно он чаще всего и ломает решение.