Математика·Прогрессии·9–11 класс

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 27, сумма первых трёх членов 26 — найти b1 и q

Условие

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 27, а сумма её первых трёх членов равна 26. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

Ответ

$b_1 = 18$ , $q = \frac{1}{3}$

Решение по шагам

Шаг 1. Две формулы и связь между ними
Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии (то есть при $|q| < 1$ ):

$S = \frac{b_1}{1 - q}$ , $S_3 = \frac{b_1\,(1 - q^3)}{1 - q}$

Во второй формуле стоит та же дробь $\frac{b_1}{1-q}$ , что и в первой, поэтому

$S_3 = S\cdot (1 - q^3)$

Это ключевой ход: он позволяет сразу найти $q$ , не решая систему из двух уравнений с двумя неизвестными в лоб.
Шаг 2. Подставляем данные
Известно $S = 27$ и $S_3 = 26$ :

$27\,(1 - q^3) = 26$

$1 - q^3 = \frac{26}{27}$

Одно уравнение с одной неизвестной — дальше остаётся аккуратно извлечь кубический корень и не забыть проверить условие $|q| < 1$ .

Осталось ещё 3 шага — откроются после входа:

Шаг 3. Находим знаменатель
Шаг 4. Находим первый член
Шаг 5. Проверка

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Частые ошибки

Из $q^3 = \frac{1}{27}$ пишут $q = \pm\frac13$ : кубический корень из положительного числа один и положителен, знаменатель $-\frac13$ уравнению не удовлетворяет.
Считают разность $27 - 26 = 1$ четвёртым членом прогрессии. На самом деле это сумма всего хвоста, а $b_4 = \frac23$ .
Находят $q$ и останавливаются, не возвращаясь к $b_1$ , либо берут $b_1 = 27$ (это сумма, а не первый член).
Применяют формулу $S = \frac{b_1}{1-q}$ , не проверив условие $|q| < 1$ — без него бесконечная сумма не существует.
Путаются со знаками в $S_3 = \frac{b_1(q^3-1)}{q-1}$ : формула верна, но при $q < 1$ удобнее эквивалентная запись $\frac{b_1(1-q^3)}{1-q}$ .

Другие задачи по теме «Прогрессии»

Найдите 30-й член арифметической прогрессии, если a1 = 12, a2 = 89–11 классНайдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, если a1 = 3, d = 49–11 классНайдите 8-й член геометрической прогрессии, если b1 = 3, q = −29–11 классЦех выпускает каждый месяц на 15 деталей больше — сколько деталей за год?9–11 классКаждый день узнаёт втрое больше людей: сколько человек узнают новость за 7 дней9–11 класс

Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же