Решите неравенство: $\log по основанию 2 x \cdot \log по основанию 3 x

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Приведем логарифмы к одному основанию, получим равносильное неравенство: $\log по основанию 2 x \cdot \frac{\log по основанию 2 x}{\log по основанию 2 3} - 2 \log по основанию 2 x - 3 \cdot \frac{\log по основанию 2 x}{\log по основанию 2 3} \geqslant - 6 \Leftrightarrow \log^{2}_2x - ( 3 + 2 \log по основанию 2 3 ) \log по основанию 2 x + 6 \log по основанию 2 3 \geqslant 0$ $\log по основанию 2 x \cdot \frac{\log по основанию 2 x}{\log по основанию 2 3} - 2 \log по основанию 2 x - 3 \cdot \frac{\log по основанию 2 x}{\log по основанию 2 3} \geqslant - 6 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log^{2}_2x - ( 3 + 2 \log по основанию 2 3 ) \log по основанию 2 x + 6 \log по основанию 2 3 \geqslant 0$ Положим, $t = \log по основанию 2 x$ По теореме, обратной теореме Виета, уравнение $t^{2} - ( 3 + 2 \log по основанию 2 3 ) t + 3 \cdot 2 \log по основанию 2 3 = 0$ имеет корни $t = 3$ и $t = 2 \log по основанию 2 3,$ откуда, учитывая, что $2 \log по основанию 2 3 = \log по основанию 2 9 > 3,$ получаем: t^{2} - ( 3 + 2 $\log$ по основанию 2 3 ) t + 3 $\cdot$ 2 $\log$ по основанию 2 3 \geqslant 0 \Leftrightarrow ( t - 3 ) ( t - $\log$ по основанию 2 9 ) \geqslant 0 \Leftrightarrow совокупность выражений t \leqslant 3,t \geqslant $\log$ по основанию 2