Решите неравенство $\log по основанию 3 ( x^{2} + 7x + 10 ) + \log по

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Найдём ограничения на x: $система выражений новая строка x^{2} + 7x + 10 > 0, новая строка x + 5 > 0, новая строка 3x^{2} + 16x + 20 > 0 конец системы \Leftrightarrow система выражений новая строка ( x + 2 ) ( x + 5 ) > 0, новая строка x + 5 > 0, новая строка 3 ( x + \frac{10}{3} ) ( x + 2 ) > 0 конец системы \Leftrightarrow система выражений новая строка x + 2 > 0, новая строка x + 5 > 0, новая строка x + \frac{10}{3} > 0 конец системы \Leftrightarrow система выражений новая строка x > - 2, новая строка x > - 5 новая строка x > - \frac{10}{3} . конец системы \Leftrightarrow x > - 2$ $система выражений новая строка x^{2} + 7x + 10 > 0, новая строка x + 5 > 0, новая строка 3x^{2} + 16x + 20 > 0 конец системы \Leftrightarrow система выражений новая строка ( x + 2 ) ( x + 5 ) > 0, новая строка x + 5 > 0, новая строка 3 ( x + \frac{10}{3} ) ( x + 2 ) > 0 конец системы \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений новая строка x + 2 > 0, новая строка x + 5 > 0, новая строка x + \frac{10}{3} > 0 конец системы \Leftrightarrow система выражений новая строка x > - 2, новая строка x > - 5 новая строка x > - \frac{10}{3} . конец системы \Leftrightarrow x > - 2$ Воспользуемся свойствами логарифмов: $\log по основанию 3 ( x^{2} + 7x + 10 ) + \log по основанию \frac{1}{3} \frac{x + 5}{9} + 1 \geqslant \log по основанию 3 ( 3x^{2} + 16x + 20 ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию 3 ( x^{2} + 7x + 10 ) - \log по основанию 3 \frac{x + 5}{9} + \log по основанию 3 3 \geqslant \log по основанию 3 ( 3x^{2} + 16x + 20 ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию 3 \frac{27 ( x + 2 ) ( x + 5 )}{( x + 5 )} \geqslant \log по основанию 3 ( ( 3x + 10 ) ( x + 2 ) ) \Leftrightarrow \log по основанию 3 ( 27x + 54 ) \geqslant \log по основанию 3 ( 3x^{2} + 16x + 20 ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию 3 \frac{27 ( x + 2 ) ( x + 5 )}{( x + 5 )} \geqslant \log по основанию 3 ( ( 3x + 10 ) ( x + 2 ) ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию 3 ( 27x + 54 ) \geqslant \log по основанию 3 ( 3x^{2} + 16x + 20 ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 27x + 54\geqslant3x^{2} + 16x + 20 \Leftrightarrow 3x^{2} - 11x - 34 \leqslant 0 \Leftrightarrow 3 ( x + 2 ) ( x - \frac{17}{3} ) \leqslant0 \Leftrightarrow - 2 \leqslant x \leqslant \frac{17}{3}$ $\Leftrightarrow 27x + 54\geqslant3x^{2} + 16x + 20 \Leftrightarrow 3x^{2} - 11x - 34 \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 3 ( x + 2 ) ( x - \frac{17}{3} ) \leqslant0 \Leftrightarrow - 2 \leqslant x \leqslant \frac{17}{3}$ $\Leftrightarrow 27x + 54\geqslant3x^{2} + 16x + 20 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 3x^{2} - 11x - 34 \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 3 ( x + 2 ) ( x - \frac{17}{3} ) \leqslant0 \Leftrightarrow - 2 \leqslant x \leqslant \frac{17}{3}$ Откуда, с учетом ОДЗ, получаем ответ.