Решите неравенство $\log по основанию ( x^{2} + 1 ) ( x - 3 )^{2} \cdot

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Сделаем замену $y= \log по основанию ( x^{2} + 1 ) ( x - 3 )^{2}$ Тогда данное неравенство принимает вид $y ( y - 3 ) \leqslant - 2 \Leftrightarrow ( y - 1 ) ( y - 2 ) \leqslant0 \Leftrightarrow 1 \leqslant y \leqslant 2$ Сделаем обратную замену: $1 \leqslant \log по основанию ( x^{2} + 1 ) ( x - 3 )^{2} \leqslant 2$ Поскольку при всех $x \neq 0$ справедливо неравенство $x^{2} + 1 > 1,$ получаем систему $x^{2} + 1 \leqslant ( x - 3 )^{2} \leqslant ( x^{2} + 1 )^{2} ,$ равносильную данному неравенству, поскольку число 0 не является её решением.

   Решим полученную систему: $система выражений x^{2} + 1 \leqslant ( x - 3 )^{2} , ( x - 3 )^{2} \leqslant ( x^{2} + 1 )^{2} конец системы \Leftrightarrow система выражений x^{2} + 1 - x^{2} + 6x - 9 \leqslant 0, ( x - 3 + x^{2} + 1 ) ( x - 3 - x^{2} - 1 ) \leqslant 0 конец системы \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 6x - 8\leqslant0, ( x^{2} + x - 2 ) ( - x^{2} + x - 4 ) \leqslant0 конец системы \Leftrightarrow система выражений x \leqslant \frac{4}{3} , ( x^{2} + x - 2 ) ( x^{2} - x + 4 ) \geqslant0 конец системы \Leftrightarrow$ \Leftrightarrow система выражений x \leqslant $\frac{4}{3}$ , совокупность выражений x \geqslant 1, x \leqslant - 2 конец системы конец совокупности \Leftrightarrow совокупность выражений 1 \leqslant x \leqslant $\frac{4}{3}$ , x \leqslant -