Решите неравенство: $\log по основанию 3 ( x - 1 ) \cdot \log по

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. В силу формулы $\log по основанию a b \cdot \log по основанию c d = \log по основанию a d \cdot \log по основанию c b$ имеем: $\log по основанию 3 ( x - 1 ) \cdot \log по основанию ( x - 1 ) ( 3^{x} + 1 ) = \log по основанию 3 ( 3^{x} + 1 ) \cdot \log по основанию ( x - 1 ) ( x - 1 ) = \log по основанию 3 ( 3^{x} + 1 ) ,$ $\log по основанию 3 ( x - 1 ) \cdot \log по основанию ( x - 1 ) ( 3^{x} + 1 ) =$ $= \log по основанию 3 ( 3^{x} + 1 ) \cdot \log по основанию ( x - 1 ) ( x - 1 ) = \log по основанию 3 ( 3^{x} + 1 ) ,$ при условиях $x > 1, x \neq 2$ Используя формулу $\log по основанию a ( bc ) = \log по основанию a b + \log по основанию a c,$ получаем: $\log по основанию 3 ( 3 в степени ( x + 1 ) + 3 ) = \log по основанию 3 ( 3 ( 3^{x} + 1 ) ) = \log по основанию 3 3 + \log по основанию 3 ( 3^{x} + 1 ) =1 + \log по основанию 3 ( 3^{x} + 1 )$ $\log по основанию 3 ( 3 в степени ( x + 1 ) + 3 ) = \log по основанию 3 ( 3 ( 3^{x} + 1 ) ) =$ $= \log по основанию 3 3 + \log по основанию 3 ( 3^{x} + 1 ) =1 + \log по основанию 3 ( 3^{x} + 1 )$ Пусть $t = \log по основанию 3 ( 3^{x} + 1 )$ Заметим, что $t > 0$ при любых значениях x. Имеем: t ( 1 + t ) \geqslant6 \Leftrightarrow t^{2} + t - 6\geqslant0 \Leftrightarrow ( t + 3 ) ( t - 2 ) }\geqslant0 \undersett > 0\mathop \Leftrightarrow t \geqslant 2 Вернёмся к исходной переменой: система выражений $\log$ по основанию 3 ( 3^{x} + 1 ) \geqslant2,x > 1,x $\neq$ 2 конец системы . \Leftrightarrow система выражений 3^{x} + 1\geqslant9,x > 1,x $\neq$ 2 конец системы . \Leftrightarrow система выражений 3^{x} \geqslant8,x > 1,x $\neq$ 2 конец системы . \Leftrightarrow система выражений x \geqslant $\log$ по основанию 3 8,x > 1,x $\neq$ 2 конец системы . \Leftrightarrow совокупность выражений $\log$ по основанию 3 8 \leqslant x < 2,x >