Решите неравенство: $( x - 3 ) ( \frac{1}{\log по основанию ( 4 - x )

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Заметим, что при $x < 4,$ $x \neq 3$ верны равенства \frac{1}{\log по основанию ( 4 - x ) 5} } = \log по основанию 5 ( 4 - x ) , $1 + \log по основанию ( 0,2 ) ( 20 - 5 x ) = 1 - \log по основанию 5 ( 5 ( 4 - x ) ) = 1 - ( 1 + \log по основанию 5 ( 4 - x ) ) = - \log по основанию 5 ( 4 - x ) ,$ $1 + \log по основанию ( 0,2 ) ( 20 - 5 x ) = 1 - \log по основанию 5 ( 5 ( 4 - x ) ) =$ $= 1 - ( 1 + \log по основанию 5 ( 4 - x ) ) = - \log по основанию 5 ( 4 - x ) ,$ тогда $( x - 3 ) ( \frac{1}{\log по основанию ( 4 - x ) 5} + \log по основанию 6 ( x^{2} + 3 x - 4 ) + 1 + \log по основанию ( 0,2 ) ( 20 - 5 x ) + x ) + x \geqslant x^{2} - 6 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( x - 3 ) ( \log по основанию 6 ( x^{2} + 3 x - 4 ) + x ) - ( x^{2} - x - 6 ) \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( x - 3 ) ( \log по основанию 6 ( x^{2} + 3 x - 4 ) + x ) - ( x - 3 ) ( x + 2 ) \geqslant 0 \Leftrightarrow ( x - 3 ) ( \log по основанию 6 ( x^{2} + 3 x - 4 ) - 2 ) \geqslant 0$ $( x - 3 ) ( \frac{1}{\log по основанию ( 4 - x ) 5} + \log по основанию 6 ( x^{2} + 3 x - 4 ) + 1 + \log по основанию ( 0,2 ) ( 20 - 5 x ) + x ) + x \geqslant x^{2} - 6 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( x - 3 ) ( \log по основанию 6 ( x^{2} + 3 x - 4 ) + x ) - ( x^{2} - x - 6 ) \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( x - 3 ) ( \log по основанию 6 ( x^{2} + 3 x - 4 ) + x ) - ( x - 3 ) ( x + 2 ) \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( x - 3 ) ( \log по основанию 6 ( x^{2} + 3 x - 4 ) - 2 ) \geqslant 0$ Применим метод рационализации: на области определения логарифма знаки выражений $\log по основанию a b - \log по основанию a c$ и ( a - 1 ) ( b - c ) совпадают, а потому исходное неравенство равносильно следующим: $система выражений ( x - 3 ) ( \log по основанию 6 ( x^{2} + 3 x - 4 ) - \log по основанию 6 36 ) \geqslant 0, x < 4, x \neq 3 конец системы . \Leftrightarrow система выражений ( x - 3 ) \cdot 5 \cdot ( x^{2} + 3 x - 40 ) \geqslant 0, x < 4, x \neq 3, x^{2} + 3 x - 4 > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ \Leftrightarrow система выражений ( x - 3 ) ( x - 5 ) ( x + 8 ) \geqslant 0, x < 4, x $\neq$ 3, ( x + 4 ) ( x - 1 ) > 0 конец системы . \Leftrightarrow совокупность выражений - 8 \leqslant x < - 4, 1 < x <