Решите неравенство: $x^{2} \log по основанию 4^{2} x + 10 \log по

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Пусть $x \log по основанию 4 x=a, \log по основанию 3 x=b,$ тогда имеем: $a^{2} + 10b^{2} \leqslant 7ab \Leftrightarrow ( a^{2} - 2ab ) - ( 5ab - 10b^{2} ) \leqslant 0 \Leftrightarrow ( a - 2b ) ( a - 5b ) \leqslant 0$ $a^{2} + 10b^{2} \leqslant 7ab \Leftrightarrow ( a^{2} - 2ab ) - ( 5ab - 10b^{2} ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( a - 2b ) ( a - 5b ) \leqslant 0$ Вернёмся к исходной переменной: $( x \log по основанию 4 x - 2 \log по основанию 3 x ) ( x \log по основанию 4 x - 5 \log по основанию 3 x ) \leqslant 0 \Leftrightarrow ( \frac{x \log по основанию 3 x}{\log по основанию 3 4} - 2 \log по основанию 3 x ) ( \frac{x \log по основанию 3 x}{\log по основанию 3 4} - 5 \log по основанию 3 x ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $( x \log по основанию 4 x - 2 \log по основанию 3 x ) ( x \log по основанию 4 x - 5 \log по основанию 3 x ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \frac{x \log по основанию 3 x}{\log по основанию 3 4} - 2 \log по основанию 3 x ) ( \frac{x \log по основанию 3 x}{\log по основанию 3 4} - 5 \log по основанию 3 x ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию 3^{2} x ( \frac{x}{\log по основанию 3 4} - 2 ) ( \frac{x}{\log по основанию 3 4} - 5 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow \log по основанию 3^{2} x ( x - 2 \log по основанию 3 4 ) ( x - 5 \log по основанию 3 4 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию 3^{2} x ( \frac{x}{\log по основанию 3 4} - 2 ) ( \frac{x}{\log по основанию 3 4} - 5 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию 3^{2} x ( x - 2 \log по основанию 3 4 ) ( x - 5 \log по основанию 3 4 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ \Leftrightarrow система выражений ( x - 1 )^{2} ( x - 2 $\log$ по основанию 3 4 ) ( x - 5 $\log$ по основанию 3 4 ) \leqslant 0,x > 0 конец системы . \Leftrightarrow совокупность выражений x=1,2 $\log$ по основанию 3 4 \leqslant x \leqslant 5 $\log$ по основанию 3