Решите неравенство: $x^{2} \log_16x \geqslant \log_16x^{5} + x\log_2x$

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Перенесём все члены в левую часть и умножим на 4: $x^{2} \log_16x \geqslant \log_16x^{5} + x\log_2x \Leftrightarrow x^{2} \log по основанию 2 x - 4x \log по основанию 2 x - 5 \log по основанию 2 x\geqslant0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( x^{2} - 4x - 5 ) \log по основанию 2 x\geqslant0 \Leftrightarrow ( x - 5 ) ( x + 1 ) \log по основанию 2 x\geqslant0$ $x^{2} \log_16x \geqslant \log_16x^{5} + x\log_2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x^{2} \log по основанию 2 x - 4x \log по основанию 2 x - 5 \log по основанию 2 x\geqslant0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( x^{2} - 4x - 5 ) \log по основанию 2 x\geqslant0 \Leftrightarrow ( x - 5 ) ( x + 1 ) \log по основанию 2 x\geqslant0$ $x^{2} \log_16x \geqslant \log_16x^{5} + x\log_2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x^{2} \log по основанию 2 x - 4x \log по основанию 2 x - 5 \log по основанию 2 x\geqslant0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( x^{2} - 4x - 5 ) \log по основанию 2 x\geqslant0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( x - 5 ) ( x + 1 ) \log по основанию 2 x\geqslant0$ Заметим, что $x > 0,$ поэтому $x + 1 > 0$ Получаем: ( x - 5 ) $\log$ по основанию 2 x\geqslant0 \Leftrightarrow ( x - 5 ) ( $\log$ по основанию 2 x - $\log$ по основанию 2 1 ) \geqslant0 \Leftrightarrow система выражений ( x - 5 ) ( x - 1 ) \geqslant 0,x > 0 конец системы . \Leftrightarrow совокупность выражений 0 < x \leqslant 1,x \geqslant