Решите неравенство $( x + 1 ) ( x + 2 ) + 4 \sqrt{x^{2} + 3x - 6} < 20$

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Раскроем скобки: $( x + 1 ) ( x + 2 ) + 4 \sqrt{x^{2} + 3x - 6} < 20 \Leftrightarrow x^{2} + 3x + 2 + 4 \sqrt{x^{2} + 3x - 6} < 20$ $( x + 1 ) ( x + 2 ) + 4 \sqrt{x^{2} + 3x - 6} < 20 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow x^{2} + 3x + 2 + 4 \sqrt{x^{2} + 3x - 6} < 20$ Пусть $t = \sqrt{x^{2} + 3x - 6} ,$ $t \geqslant 0,$ тогда $x^{2} + 3x = t^{2} + 6$ Получаем: $система выражений t^{2} + 6 + 2 + 4t < 20, t \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений t^{2} + 4t - 12 < 0, t \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений ( t + 6 ) ( t - 2 ) < 0, t \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений - 6 < t < 2, t \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow 0 \leqslant t < 2$ $система выражений t^{2} + 6 + 2 + 4t < 20, t \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений t^{2} + 4t - 12 < 0, t \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений ( t + 6 ) ( t - 2 ) < 0, t \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений - 6 < t < 2, t \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow 0 \leqslant t < 2$ Вернёмся к исходной переменной и решим двойное неравенство: $0 \leqslant \sqrt{x^{2} + 3x - 6} < 2 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 3x - 6} < 2 \Leftrightarrow система выражений x^{2} + 3x - 6 \geqslant 0, x^{2} + 3x - 6 < 4 конец системы . \Leftrightarrow$ \Leftrightarrow система выражений ( x - $\frac{минус 3 - \sqrt{33}}{2}$ ) ( x - $\frac{минус 3 + \sqrt{33}}{2}$ ) \geqslant 0, x^{2} + 3x - 10 < 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x \leqslant $\frac{минус 3 - \sqrt{33}}{2}$ , x \geqslant $\frac{минус 3 + \sqrt{33}}{2}$ , конец системы . ( x - 2 ) ( x + 5 ) < 0 конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x \leqslant $\frac{минус 3 - \sqrt{33}}{2}$ , x \geqslant $\frac{минус 3 + \sqrt{33}}{2}$ , конец системы . - 5 < x <