Решите неравенство: $\sqrt{7x - 13} - \sqrt{3x - 19} > \sqrt{5x - 27}$

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Найдем ОДЗ: $система выражений 7x - 13 \geqslant 0, 3x - 19 \geqslant 0, 5x - 27 \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений x \geqslant \frac{13}{7} , x \geqslant \frac{19}{3} , x \geqslant \frac{27}{5} конец системы . \Leftrightarrow x \geqslant \frac{19}{3}$ Заметим, что $7x - 13 = 5x - 27 + 2x + 14 = ( 5x - 27 ) + ( 2x + 3 ) + 11,$ $3x - 19 = 5x - 27 - 2x + 8 = ( 5x - 27 ) - ( 2x + 3 ) + 11$ Пусть тогда $5x - 27 = a,$ $2x + 3 = b,$ на ОДЗ имеем: $\sqrt{a + 11 + b} - \sqrt{a + 11 - b} > \sqrt{a} \Leftrightarrow a + 11 + b - 2 \sqrt{( a + 11 )^{2} - b^{2}} + a + 11 - b > a \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow a + 22 > 2 \sqrt{( a + 11 )^{2} - b^{2}} \Leftrightarrow a^{2} + 44a + 484 > 4a^{2} + 88a + 484 - 4b^{2} \Leftrightarrow 4b^{2} > 3a^{2} + 44a$ $\sqrt{a + 11 + b} - \sqrt{a + 11 - b} > \sqrt{a} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow a + 11 + b - 2 \sqrt{( a + 11 )^{2} - b^{2}} + a + 11 - b > a \Leftrightarrow a + 22 > 2 \sqrt{( a + 11 )^{2} - b^{2}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow a^{2} + 44a + 484 > 4a^{2} + 88a + 484 - 4b^{2} \Leftrightarrow 4b^{2} > 3a^{2} + 44a$ $\sqrt{a + 11 + b} - \sqrt{a + 11 - b} > \sqrt{a} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow a + 11 + b - 2 \sqrt{( a + 11 )^{2} - b^{2}} + a + 11 - b > a \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow a + 22 > 2 \sqrt{( a + 11 )^{2} - b^{2}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow a^{2} + 44a + 484 > 4a^{2} + 88a + 484 - 4b^{2} \Leftrightarrow 4b^{2} > 3a^{2} + 44a$ $\sqrt{a + 11 + b} - \sqrt{a + 11 - b} > \sqrt{a} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow a + 11 + b - 2 \sqrt{( a + 11 )^{2} - b^{2}} + a + 11 - b > a \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow a + 22 > 2 \sqrt{( a + 11 )^{2} - b^{2}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow a^{2} + 44a + 484 > 4a^{2} + 88a + 484 - 4b^{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 4b^{2} > 3a^{2} + 44a$ Вернемся к исходной переменной, получим: $система выражений 4 ( 2x + 3 )^{2} > 3 ( 5x - 27 )^{2} + 44 ( 5x - 27 ) , x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 16x^{2} + 48x + 36 > 75x^{2} - 810x + 2187 + 220x - 1188, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow система выражений 59x^{2} - 638x + 963 < 0, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 59x^{2} - 531x - 107x + 963 < 0, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow система выражений 59x ( x - 9 ) - 107 ( x - 9 ) < 0, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений ( 59x - 107 ) ( x - 9 ) < 0, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{107}{59} < x < 9, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow \frac{19}{3} \leqslant x < 9$ $система выражений 4 ( 2x + 3 )^{2} > 3 ( 5x - 27 )^{2} + 44 ( 5x - 27 ) , x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 16x^{2} + 48x + 36 > 75x^{2} - 810x + 2187 + 220x - 1188, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 59x^{2} - 638x + 963 < 0, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow система выражений 59x^{2} - 531x - 107x + 963 < 0, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 59x ( x - 9 ) - 107 ( x - 9 ) < 0, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений ( 59x - 107 ) ( x - 9 ) < 0, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{107}{59} < x < 9, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow \frac{19}{3} \leqslant x < 9$ $система выражений 4 ( 2x + 3 )^{2} > 3 ( 5x - 27 )^{2} + 44 ( 5x - 27 ) , x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 16x^{2} + 48x + 36 > 75x^{2} - 810x + 2187 + 220x - 1188, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 59x^{2} - 638x + 963 < 0, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 59x^{2} - 531x - 107x + 963 < 0, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 59x ( x - 9 ) - 107 ( x - 9 ) < 0, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений ( 59x - 107 ) ( x - 9 ) < 0, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{107}{59} < x < 9, x \geqslant \frac{19}{3} конец системы . \Leftrightarrow \frac{19}{3} \leqslant x < 9$ Ответ: $[ \frac{19}{3} ; 9 )$