Решите неравенство $минус \log по основанию ( \frac{x}{6} ) ( \frac{\lg

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Заметим, что значения $x\leqslant0$ не входят в ОДЗ данного неравенства. При $x > 0$ получаем, что $\frac{|x|}{x} =1,$ и исходное неравенство равносильно неравенству $\log по основанию ( \frac{x}{6} ) ( \frac{\lg \sqrt{6 - x}}{\lg x} ) < 0$ Заметим также, что значения $x\geqslant6$ не входят в ОДЗ данного неравенства. При $0 < x < 6$ для основания логарифма справедлива оценка $0 < \frac{x}{6} < 1,$ и неравенство равносильно следующему: $\frac{\lg \sqrt{6 - x}}{\lg x} > 1$ Перенесём единицу в левую часть, приведём к общему знаменателю и воспользуемся методом рационализации: $\frac{\lg \sqrt{6 - x}}{\lg x} > 1 \Leftrightarrow \frac{\lg \sqrt{6 - x} - \lg x}{\lg x} > 0 \Leftrightarrow система выражений \frac{\sqrt{6 - x} - x}{x - 1} > 0,0 < x < 6 конец системы . \underset ( * ) \mathop \Leftrightarrow система выражений \frac{6 - x - x^{2}}{x - 1} > 0,0 < x < 6 конец системы . \Leftrightarrow$ $\frac{\lg \sqrt{6 - x}}{\lg x} > 1 \Leftrightarrow \frac{\lg \sqrt{6 - x} - \lg x}{\lg x} > 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{\sqrt{6 - x} - x}{x - 1} > 0,0 < x < 6 конец системы . \underset ( * ) \mathop \Leftrightarrow система выражений \frac{6 - x - x^{2}}{x - 1} > 0,0 < x < 6 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{x^{2} + x - 6}{x - 1} < 0,0 < x < 6 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{( x + 3 ) ( x - 2 )}{x - 1} < 0,0 < x < 6 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{x - 2}{x - 1} < 0,0 < x < 6 конец системы . \Leftrightarrow система выражений 1 < x < 2,0 < x < 6 конец системы . \Leftrightarrow 1 < x < 2$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{x^{2} + x - 6}{x - 1} < 0,0 < x < 6 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \frac{( x + 3 ) ( x - 2 )}{x - 1} < 0,0 < x < 6 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{x - 2}{x - 1} < 0,0 < x < 6 конец системы . \Leftrightarrow система выражений 1 < x < 2,0 < x < 6 конец системы . \Leftrightarrow 1 < x < 2$ *) Выше мы воспользовались тем, что на ОДЗ знак разности двух положительных функций совпадает со знаком разности их квадратов, а потому на интервале (0;