Решите неравенство: $\log по основанию 5^{2} ( x - 8 ) - 6 \log по

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Неравенство определено при $x > 8$ Пусть $t= \log по основанию 5 ( x - 8 ) ,$ тогда $t^{2} - 3t - 4 + 25 \cdot ( x - 8 ) \cdot ( t - 4 ) \geqslant 0 \Leftrightarrow ( t - 4 ) ( t + 1 ) + 25 \cdot ( x - 8 ) \cdot ( t - 4 ) \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( t - 4 ) ( t + 1 + 25 \cdot ( x - 8 ) ) \geqslant 0 \undersetx > 8\mathop \Leftrightarrow совокупность выражений t \geqslant 4,t \leqslant - 1 - 25 \cdot ( x - 8 ) . конец совокупности$ $t^{2} - 3t - 4 + 25 \cdot ( x - 8 ) \cdot ( t - 4 ) \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( t - 4 ) ( t + 1 ) + 25 \cdot ( x - 8 ) \cdot ( t - 4 ) \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( t - 4 ) ( t + 1 + 25 \cdot ( x - 8 ) ) \geqslant 0 \undersetx > 8\mathop \Leftrightarrow совокупность выражений t \geqslant 4,t \leqslant - 1 - 25 \cdot ( x - 8 ) . конец совокупности$ $t^{2} - 3t - 4 + 25 \cdot ( x - 8 ) \cdot ( t - 4 ) \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( t - 4 ) ( t + 1 ) + 25 \cdot ( x - 8 ) \cdot ( t - 4 ) \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( t - 4 ) ( t + 1 + 25 \cdot ( x - 8 ) ) \geqslant 0 \undersetx > 8\mathop \Leftrightarrow$ $\undersetx > 8\mathop \Leftrightarrow совокупность выражений t \geqslant 4,t \leqslant - 1 - 25 \cdot ( x - 8 ) . конец совокупности$ Вернёмся к исходной переменной, получим: $совокупность выражений \log по основанию 5 ( x - 8 ) \geqslant 4, \log по основанию 5 ( x - 8 ) \leqslant - 1 - 25 \cdot ( x - 8 ) . конец совокупности$ Решим первое неравенство совокупности: $\log по основанию 5 ( x - 8 ) \geqslant 4 \Leftrightarrow x - 8 \geqslant 5^{4} \Leftrightarrow x - 8 \geqslant 625 \Leftrightarrow x \geqslant 633$ Преобразуем второе неравенство совокупности: $\log по основанию 5 ( x - 8 ) \leqslant - 1 - 25 \cdot ( x - 8 ) \Leftrightarrow \log по основанию 5 ( x - 8 ) + 1 \leqslant - 25 \cdot ( x - 8 ) \Leftrightarrow \log по основанию 5 ( 5x - 40 ) \leqslant - 5 \cdot ( 5x - 40 )$ $\log по основанию 5 ( x - 8 ) \leqslant - 1 - 25 \cdot ( x - 8 ) \Leftrightarrow \log по основанию 5 ( x - 8 ) + 1 \leqslant - 25 \cdot ( x - 8 ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию 5 ( 5x - 40 ) \leqslant - 5 \cdot ( 5x - 40 )$ $\log по основанию 5 ( x - 8 ) \leqslant - 1 - 25 \cdot ( x - 8 ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию 5 ( x - 8 ) + 1 \leqslant - 25 \cdot ( x - 8 ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \log по основанию 5 ( 5x - 40 ) \leqslant - 5 \cdot ( 5x - 40 )$ Полученное неравенство имеет вид $\log по основанию 5 y \leqslant - 5y,$ причем в левой части стоит возрастающая функция, а в правой — убывающая.