Решите неравенство $\log по основанию 3^{2} ( x - 4 ) - \log по

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Преобразуем неравенство, применив формулу разности квадратов: $\log по основанию 3^{2} ( x - 4 ) - \log по основанию 3^{2} ( x - 6 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow ( \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 ( x - 6 ) ) ( \log по основанию 3 ( x - 4 ) + \log по основанию 3 ( x - 6 ) ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 ( x - 6 ) ) ( \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 \frac{1}{x - 6} ) \leqslant 0$ $\log по основанию 3^{2} ( x - 4 ) - \log по основанию 3^{2} ( x - 6 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 ( x - 6 ) ) ( \log по основанию 3 ( x - 4 ) + \log по основанию 3 ( x - 6 ) ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 ( x - 6 ) ) ( \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 \frac{1}{x - 6} ) \leqslant 0$ Воспользуемся методом рационализации и заменим разность логарифмов на разность их аргументов, учитывая, что основание логарифма больше 1: $система выражений ( x - 4 - ( x - 6 ) ) ( x - 4 - ( \frac{1}{x - 6} ) ) \leqslant 0,x - 4 > 0, x - 6 > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{x^{2} - 10x + 23}{x - 6} \leqslant 0,x > 4, x > 6 конец системы . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x \leqslant 5 - \sqrt{2} ,6 < x \leqslant 5 + \sqrt{2} , конец системы . x > 6 конец совокупности . \Leftrightarrow 6 < x \leqslant 5 + \sqrt{2}$ $система выражений ( x - 4 - ( x - 6 ) ) ( x - 4 - ( \frac{1}{x - 6} ) ) \leqslant 0,x - 4 > 0, x - 6 > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \frac{x^{2} - 10x + 23}{x - 6} \leqslant 0,x > 4, x > 6 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x \leqslant 5 - \sqrt{2} ,6 < x \leqslant 5 + \sqrt{2} , конец системы . x > 6 конец совокупности . \Leftrightarrow 6 < x \leqslant 5 + \sqrt{2}$ Ответ: $( 6;5 + \sqrt{2} ]$ Приведём другой способ. $\log по основанию 3^{2} ( x - 4 ) - \log по основанию 3^{2} ( x - 6 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow ( \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 ( x - 6 ) ) ( \log по основанию 3 ( x - 4 ) + \log по основанию 3 ( x - 6 ) ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 ( x - 6 ) \leqslant0 , \log по основанию 3 ( x - 4 ) + \log по основанию 3 ( x - 6 ) \geqslant 0, конец системы . система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 ( x - 6 ) \geqslant 0, \log по основанию 3 ( x - 4 ) + \log по основанию 3 ( x - 6 ) \leqslant 0 конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) \leqslant \log по основанию 3 ( x - 6 ) , \log по основанию 3 ( x - 4 ) \geqslant - \log по основанию 3 ( x - 6 ) конец системы . система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) \geqslant \log по основанию 3 ( x - 6 ) , \log по основанию 3 ( x - 4 ) \leqslant - \log по основанию 3 ( x - 6 ) . конец системы . конец совокупности$ $\log по основанию 3^{2} ( x - 4 ) - \log по основанию 3^{2} ( x - 6 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 ( x - 6 ) ) ( \log по основанию 3 ( x - 4 ) + \log по основанию 3 ( x - 6 ) ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 ( x - 6 ) \leqslant0 , \log по основанию 3 ( x - 4 ) + \log по основанию 3 ( x - 6 ) \geqslant 0, конец системы . система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 ( x - 6 ) \geqslant 0, \log по основанию 3 ( x - 4 ) + \log по основанию 3 ( x - 6 ) \leqslant 0 конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) \leqslant \log по основанию 3 ( x - 6 ) , \log по основанию 3 ( x - 4 ) \geqslant - \log по основанию 3 ( x - 6 ) конец системы . система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) \geqslant \log по основанию 3 ( x - 6 ) , \log по основанию 3 ( x - 4 ) \leqslant - \log по основанию 3 ( x - 6 ) . конец системы . конец совокупности$ $\log по основанию 3^{2} ( x - 4 ) - \log по основанию 3^{2} ( x - 6 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 ( x - 6 ) ) ( \log по основанию 3 ( x - 4 ) + \log по основанию 3 ( x - 6 ) ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 ( x - 6 ) \leqslant0 , \log по основанию 3 ( x - 4 ) + \log по основанию 3 ( x - 6 ) \geqslant 0, конец системы . система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) - \log по основанию 3 ( x - 6 ) \geqslant 0, \log по основанию 3 ( x - 4 ) + \log по основанию 3 ( x - 6 ) \leqslant 0 конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) \leqslant \log по основанию 3 ( x - 6 ) , \log по основанию 3 ( x - 4 ) \geqslant - \log по основанию 3 ( x - 6 ) конец системы . система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) \geqslant \log по основанию 3 ( x - 6 ) , \log по основанию 3 ( x - 4 ) \leqslant - \log по основанию 3 ( x - 6 ) . конец системы . конец совокупности$ Первое неравенство первой системы не имеет решений, значит, совокупность равносильна второй системе: $система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) \geqslant \log по основанию 3 ( x - 6 ) , \log по основанию 3 ( x - 4 ) \leqslant - \log по основанию 3 ( x - 6 ) конец системы . \Leftrightarrow система выражений x - 4 \geqslant x - 6 > 0,0 < x - 4 \leqslant \frac{1}{} x - 6 конец системы . \Leftrightarrow система выражений x - 6 > 0,x - 4 \leqslant \frac{1}{} x - 6 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x > 6,x^{2} - 10x + 23 \leqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений x > 6,5 - корень из 2 \leqslant x \leqslant 5 + корень из 2 конец системы . \Leftrightarrow 6 < x \leqslant 5 + \sqrt{2}$ $система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) \geqslant \log по основанию 3 ( x - 6 ) , \log по основанию 3 ( x - 4 ) \leqslant - \log по основанию 3 ( x - 6 ) конец системы . \Leftrightarrow система выражений x - 4 \geqslant x - 6 > 0,0 < x - 4 \leqslant \frac{1}{} x - 6 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x - 6 > 0,x - 4 \leqslant \frac{1}{} x - 6 конец системы . \Leftrightarrow система выражений x > 6,x^{2} - 10x + 23 \leqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x > 6,5 - корень из 2 \leqslant x \leqslant 5 + корень из 2 конец системы . \Leftrightarrow 6 < x \leqslant 5 + \sqrt{2}$ $система выражений \log по основанию 3 ( x - 4 ) \geqslant \log по основанию 3 ( x - 6 ) , \log по основанию 3 ( x - 4 ) \leqslant - \log по основанию 3 ( x - 6 ) конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x - 4 \geqslant x - 6 > 0,0 < x - 4 \leqslant \frac{1}{} x - 6 конец системы . \Leftrightarrow система выражений x - 6 > 0,x - 4 \leqslant \frac{1}{} x - 6 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x > 6,x^{2} - 10x + 23 \leqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений x > 6,5 - корень из 2 \leqslant x \leqslant 5 + корень из 2 конец системы . \Leftrightarrow 6 < x \leqslant 5 + \sqrt{2}$ Ответ: $( 6;5 + \sqrt{2} ]$ Приведём ещё один способ.Решим неравенство методом интервалов.1. Найдём ОДЗ неравенства: $система выражений x - 4 > 0,x - 6 > 0 конец системы . \Leftrightarrow x > 6$