Решите неравенство $\lg^{4} ( x^{2} - 26 )^{4} - 4\lg^{2} ( x^{2} - 26

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Преобразуем неравенство следующим образом: $\lg^{4} ( x^{2} - 26 )^{4} - 4\lg^{2} ( x^{2} - 26 )^{2} \leqslant240 \Leftrightarrow 256\lg^{4}	x^{2} - 26	- 16\lg^{2}	x^{2} - 26	\leqslant 240 \Leftrightarrow$$\lg^{4} ( x^{2} - 26 )^{4} - 4\lg^{2} ( x^{2} - 26 )^{2} \leqslant240 \Leftrightarrow$
   $\Leftrightarrow 256\lg^{4}	x^{2} - 26	- 16\lg^{2}	x^{2} - 26	\leqslant 240 \Leftrightarrow$$\Leftrightarrow 16\lg^{4}	x^{2} - 26	- \lg^{2}	x^{2} - 26	- 15 \leqslant 0$Пусть$t = \lg^{2}	x^{2} - 26	,$тогда$16t^{2} - t - 15 \leqslant 0 \Leftrightarrow - \frac{15}{16} \leqslant t \leqslant 1 \Leftrightarrow 0 \leqslant t \leqslant 1$Вернемся к исходной переменной. Имеем:$\lg^{2}	x^{2} - 26	\leqslant 1 \Leftrightarrow ( \lg	x^{2} - 26	- 1 ) ( \lg	x^{2} - 26	+ 1 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow - 1 \leqslant\lg	x^{2} - 26	\leqslant 1,$$\lg^{2}	x^{2} - 26	\leqslant 1 \Leftrightarrow ( \lg	x^{2} - 26	- 1 ) ( \lg	x^{2} - 26	+ 1 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$
   $\Leftrightarrow - 1 \leqslant\lg	x^{2} - 26	\leqslant 1,$$\lg^{2}	x^{2} - 26	\leqslant 1 \Leftrightarrow$
   $\Leftrightarrow ( \lg	x^{2} - 26	- 1 ) ( \lg	x^{2} - 26	+ 1 ) \leqslant 0 \Leftrightarrow$
   $\Leftrightarrow - 1 \leqslant\lg	x^{2} - 26	\leqslant 1,$откуда получаем:$\frac{1}{10} \leqslant	x^{2} - 26	\leqslant 10 \Leftrightarrow совокупность выражений \frac{1}{10} \leqslant x^{2} - 26 \leqslant 10, - 10 \leqslant x^{2} - 26 \leqslant - \frac{1}{10} конец совокупности . \Leftrightarrow$
   \Leftrightarrow совокупность выражений 26,1 \leqslant x^{2} \leqslant 36, 16 \leqslant x^{2} \leqslant 25,9 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений $\sqrt{26,1}$ \leqslant	x	\leqslant 6, 4 \leqslant	x	\leqslant $\sqrt{25,9}$ конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений $\sqrt{26,1}$ \leqslant x \leqslant 6, - 6 \leqslant x \leqslant - $\sqrt{26,1}$ , 4 \leqslant x \leqslant $\sqrt{25,9}$ , - $\sqrt{25,9}$ \leqslant x \leqslant -