Решите неравенство $\frac{x^{2} - 2x + 1}{( x + 2 )^{2}} + \frac{x^{2}

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Сделаем замену: $a= \frac{x - 1}{x + 2} ,b= \frac{x + 1}{x - 3}$ Тогда $a + b= \frac{( x - 1 ) ( x - 3 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x - 3 )} = \frac{2x^{2} - x + 5}{( x + 2 ) ( x - 3 )}$ Неравенство принимает вид: $a^{2} + b^{2} \leqslant \frac{( a + b )^{2}}{2} ,$ откуда $a^{2} + b^{2} - 2ab \leqslant 0 \Leftrightarrow ( a - b )^{2} \leqslant 0$ Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда $a=b$ Получаем: $\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{x + 1}{x - 3} \Leftrightarrow x^{2} - 4x + 3 = x^{2} + 3x + 2 \Leftrightarrow x= \frac{1}{7}$ Ответ: $\frac{1}{7}$ Примечание.Задача допускает решение без замены переменной: тождественными преобразованиями данное неравенство приводится к $\frac{( 7x - 1 )^{2}}{( x + 2 )^{2} ( x - 3 )^{2}} \leqslant 0,$ откуда также получается ответ $x= \frac{1}{7}$ Приведем решение Наиля Мусина для нахождения нулей числителя.Выполним преобразования: $\frac{x^{2} - 2x + 1}{( x + 2 )^{2}} + \frac{x^{2} + 2x + 1}{( x - 3 )^{2}} \leqslant \frac{( 2x^{2} - x + 5 )^{2}}{2 ( x + 2 )^{2} ( x - 3 )^{2}} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2 ( x - 1 )^{2} ( x - 3 )^{2} + 2 ( x + 1 )^{2} ( x + 2 )^{2} - ( 2x^{2} - x + 5 )^{2}}{2 ( x + 2 )^{2} ( x - 3 )^{2}} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2 ( x^{2} - 4x + 3 )^{2} + 2 ( x^{2} + 3x + 2 )^{2} - ( 2x^{2} - x + 5 )^{2}}{2 ( x + 2 )^{2} ( x - 3 )^{2}} \leqslant 0$ Для нахождения нулей числителя сделаем замену $a=x^{2} - 4x + 3,$ $b=x^{2} + 3x + 2$ Заметим, что $2x^{2} - x + 5= ( x^{2} - 4x + 3 ) + ( x^{2} + 3x + 2 ) =a + b$ Для нахождения нулей числителя решим уравнение: $2a^{2} + 2b^{2} - ( a + b )^{2} =0 \Leftrightarrow ( a - b )^{2} =0$ Возвращаясь к исходным переменным, получим $x^{2} - 4x + 3=x^{2} + 3x + 2 \Leftrightarrow x= \frac{1}{7}$