Решите неравенство: $\frac{\log по основанию x 2 x в степени ( - 1 )

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Перейдем к основанию 2, находим: $\frac{\log по основанию x \frac{2}{x} \cdot \log по основанию x 2 x^{2}}{\log по основанию ( 2 x ) x \cdot \log по основанию ( \frac{2}{} x^{2} ) x} = \frac{\frac{\log по основанию 2 2 - \log по основанию 2 x}{\log по основанию 2 x} \cdot \frac{\log по основанию 2 2 + \log по основанию 2 x^{2}}{\log по основанию 2 x}}{\frac{\log по основанию 2 x}{\log по основанию 2 2 + \log по основанию 2 x} \cdot \frac{\log по основанию 2 x}{\log по основанию 2 2 - \log по основанию 2 x^{2}}} = \frac{\frac{1 - \log по основанию 2 x}{\log по основанию 2 x} \cdot \frac{1 + 2 \log по основанию 2 x}{\log по основанию 2 x}}{\frac{\log по основанию 2 x}{1 + \log по основанию 2 x} \cdot \frac{\log по основанию 2 x}{1 - 2 \log по основанию 2 x}}$ Положим, $t = \log по основанию 2 x,$ получим: $\frac{\frac{( 1 - t ) ( 1 + 2t )}{t^{2}}}{\frac{t^{2}}{( 1 + t ) ( 1 - 2t )}} = \frac{( 1 - t ) ( 1 + t ) ( 1 + 2t ) ( 1 - 2t )}{t^{4}} = \frac{( 1 - t^{2} ) ( 1 - 4t^{2} )}{t^{4}} ,$ при условиях $t \neq \frac{1}{2} ,$ $t \neq - 1$ Пусть $y = t^{2} ,$ тогда $\frac{( 1 - y ) ( 1 - 4y )}{y^{2}} < 40 \Leftrightarrow система выражений y \neq 0, 4y^{2} - 5y + 1 < 40y^{2} конец системы . \Leftrightarrow система выражений y \neq 0, 36y^{2} + 5y - 1 > 0 конец системы . \Leftrightarrow совокупность выражений y < - \frac{1}{4} , y > \frac{1}{9} . конец совокупности$ $\frac{( 1 - y ) ( 1 - 4y )}{y^{2}} < 40 \Leftrightarrow система выражений y \neq 0, 4y^{2} - 5y + 1 < 40y^{2} конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений y \neq 0, 36y^{2} + 5y - 1 > 0 конец системы . \Leftrightarrow совокупность выражений y < - \frac{1}{4} , y > \frac{1}{9} . конец совокупности$ Таким образом, $t^{2} < - \frac{1}{4} ,$ что невозможно, или $t^{2} > \frac{1}{9} ,$ откуда $t < - \frac{1}{3}$ или $t > \frac{1}{3}$ С учетом условий $t \neq \frac{1}{2} ,$ $t \neq - 1$ имеем: $\frac{1}{3} < t < \frac{1}{2} ,$ $t > \frac{1}{2} ,$ $минус 1 < t < - \frac{1}{3} ,$ $t < - 1$ Вернемся к исходной переменной, получим: $\frac{1}{3} < \log по основанию 2 x < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби < x < 2 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $\log по основанию 2 x > \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > 2 в степени д робь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $минус 1 < \log по основанию 2 x < - \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 2 в степени ( - \frac{1}{3} ) ,$ $\log по основанию 2 x < - 1 \Leftrightarrow 0 < x < \frac{1}{2}$ Ответ: $( 0; \frac{1}{2} ) \cup ( \frac{1}{2} ; 2 в степени ( - \frac{1}{3} ) ) \cup ( 2 в степени ( \frac{1}{3} ) ; корень из 2 ) \cup ( корень из 2 ; + \infty )$