Решите неравенство: $\frac{\log по основанию 7 x \cdot ( 2 - \log по

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Область определения неравенства задается системой соотношений $x > 0,$ $x \neq 1$ При $x > 1$ знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства, положителен, а потому на него можно умножить, не меняя знака неравенства. Получим: $\log по основанию 7 x ( 2 - \log по основанию 4 x ) \geqslant \log по основанию 4 x ( \log по основанию x \frac{x}{4} + \log по основанию 7 x )$ Преобразуем правую часть: $\log по основанию 4 x ( \log по основанию x \frac{x}{4} + \log по основанию 7 x ) = \log по основанию 4 x ( \log по основанию x x - \log по основанию x 4 + \log по основанию 7 x ) = \log по основанию 4 x - 1 + \log по основанию x 4 \log по основанию 7 x$ $\log по основанию 4 x ( \log по основанию x \frac{x}{4} + \log по основанию 7 x ) = \log по основанию 4 x ( \log по основанию x x - \log по основанию x 4 + \log по основанию 7 x ) =$ $= \log по основанию 4 x - 1 + \log по основанию x 4 \log по основанию 7 x$ $\log по основанию 4 x ( \log по основанию x \frac{x}{4} + \log по основанию 7 x ) =$ $= \log по основанию 4 x ( \log по основанию x x - \log по основанию x 4 + \log по основанию 7 x ) =$ $= \log по основанию 4 x - 1 + \log по основанию x 4 \log по основанию 7 x$ Тогда $2 \log по основанию 7 x - \log по основанию 7 x \log по основанию 4 x \geqslant \log по основанию 4 x - 1 + \log по основанию x 4 \log по основанию 7 x \Leftrightarrow 2 \log по основанию 7 x - 2 \log по основанию 7 x \log по основанию 4 x + ( 1 - \log по основанию 4 x ) \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( 2 \log по основанию 7 x + 1 ) ( 1 - \log по основанию 4 x ) \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{1}{} корень из 7 \leqslant x \leqslant 4$ $2 \log по основанию 7 x - \log по основанию 7 x \log по основанию 4 x \geqslant \log по основанию 4 x - 1 + \log по основанию x 4 \log по основанию 7 x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \log по основанию 7 x - 2 \log по основанию 7 x \log по основанию 4 x + ( 1 - \log по основанию 4 x ) \geqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( 2 \log по основанию 7 x + 1 ) ( 1 - \log по основанию 4 x ) \geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{1}{} корень из 7 \leqslant x \leqslant 4$ На рассматриваемом промежутке $x > 1,$ поэтому $1 < x \leqslant 4$ При $0 < x < 1$ знаменатель дроби отрицателен, а значит, знак неравенства меняется. Находим: ( 2 $\log$ по основанию 7 x + 1 ) ( 1 - $\log$ по основанию 4 x ) \leqslant 0 \Leftrightarrow совокупность выражений x \leqslant $\frac{1}{}$ корень из 7 , x \geqslant