Решите неравенство: $( \frac{\log по основанию 2^{3} x + 1}{\log по

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Преобразуем первую скобку. Пусть $t= \log по основанию 2 x,$ тогда $\log по основанию 2^{2} x - \log по основанию 2 ( 4x ) = \log по основанию 2^{2} x - \log по основанию 2 x - \log по основанию 2 4=t^{2} - t - 2,$ откуда для первого слагаемого получаем: $\frac{t^{3} + 1}{t^{2} - t - 2} = \frac{( t + 1 ) ( t^{2} - t + 1 )}{( t + 1 ) ( t - 2 )} = \frac{t^{2} - t + 1}{t - 2} , t \neq - 1$ Во втором слагаемом перейдем к основанию 2: $\log по основанию ( \frac{x}{4} ) ( 256x^{7} ) = \frac{\log по основанию 2 ( 256x^{7} )}{\log по основанию 2 \frac{x}{4}} = \frac{\log по основанию 2 x^{7} + \log по основанию 2 256}{\log по основанию 2 x - \log по основанию 2 4} = \frac{7 \log по основанию 2 x + 8}{\log по основанию 2 x - 2} = \frac{7t + 8}{t - 2}$ $\log по основанию ( \frac{x}{4} ) ( 256x^{7} ) = \frac{\log по основанию 2 ( 256x^{7} )}{\log по основанию 2 \frac{x}{4}} =$ $= \frac{\log по основанию 2 x^{7} + \log по основанию 2 256}{\log по основанию 2 x - \log по основанию 2 4} = \frac{7 \log по основанию 2 x + 8}{\log по основанию 2 x - 2} = \frac{7t + 8}{t - 2}$ Тогда сумма слагаемых в первой скобке равна $\frac{t^{2} - t + 1}{t - 2} + \frac{7t + 8}{t - 2} = \frac{t^{2} + 6t + 9}{t - 2} = \frac{( t + 3 )^{2}}{t - 2} , t \neq - 1$ Преобразуем вторую скобку: $8 + \frac{127}{x - 16} = \frac{8x - 128 + 127}{x - 16} = \frac{8x - 1}{x - 16}$ Тогда при условии $\log по основанию 2 x \neq - 1,$ то есть при $0 < x \neq \frac{1}{2} ,$ запишем исходное неравенство в упрощенном виде и применим метод интервалов (см. рис.): [рисунок] $\frac{( \log по основанию 2 x + 3 )^{2}}{\log по основанию 2 x - 2}$ : $\frac{8x - 1}{x - 16}$ \geqslant0 \Leftrightarrow система выражений $\frac{( \log по основанию 2 x + 3 )^{2} ( x - 16 )}{( \log по основанию 2 x - 2 ) ( 8x - 1 )}$ \geqslant0 ,x $\neq$ 16 конец системы . \Leftrightarrow совокупность выражений $\frac{1}{8}$ < x < $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ < x < 4,x >