Решите неравенство $\frac{\log^{2}_2x - 1}{(} 9x^{2} - 12x + 4 ) - 10

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Пусть $\log по основанию ( 2x - 1 ) ( 3x - 2 ) =t,$ тогда $\log^{2}_2x - 1 ( 9x^{2} - 12x + 4 ) = ( \log по основанию ( 2x - 1 ) ( 3x - 2 )^{2} )^{2} = ( 2 \log по основанию ( 2x - 1 ) ( 3x - 2 ) )^{2} = 4t^{2} ,$ $\log^{2}_2x - 1 ( 9x^{2} - 12x + 4 ) = ( \log по основанию ( 2x - 1 ) ( 3x - 2 )^{2} )^{2} =$ $= ( 2 \log по основанию ( 2x - 1 ) ( 3x - 2 ) )^{2} = 4t^{2} ,$ $\log по основанию ( 2x - 1 ) ( 6x^{2} - 7x + 2 ) = \log по основанию ( 2x - 1 ) ( ( 2x - 1 ) ( 3x - 2 ) ) =1 + \log по основанию ( 2x - 1 ) ( 3x - 2 ) =t + 1$ $\log по основанию ( 2x - 1 ) ( 6x^{2} - 7x + 2 ) = \log по основанию ( 2x - 1 ) ( ( 2x - 1 ) ( 3x - 2 ) ) =$ $=1 + \log по основанию ( 2x - 1 ) ( 3x - 2 ) =t + 1$ Получаем: $\frac{4t^{2} - 10t + 18}{3 ( t + 1 ) - 2} \leqslant2 \Leftrightarrow \frac{4t^{2} - 16t + 16}{3t + 1} \leqslant0 \Leftrightarrow \frac{( t - 2 )^{2}}{3t + 1} \leqslant0 \Leftrightarrow совокупность выражений t < - \frac{1}{3} ,t=2. конец совокупности$ Вернёмся к исходной переменной. Решим уравнение $\log по основанию ( 2x - 1 ) ( 3x - 2 ) =2$ : $\log по основанию ( 2x - 1 ) ( 3x - 2 ) =2 \Rightarrow 3x - 2= ( 2x - 1 )^{2} \Leftrightarrow 4x^{2} - 7x + 3=0 \Leftrightarrow совокупность выражений x=1, x= \frac{3}{4} . конец совокупности$ $\log по основанию ( 2x - 1 ) ( 3x - 2 ) =2 \Rightarrow 3x - 2= ( 2x - 1 )^{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 4x^{2} - 7x + 3=0 \Leftrightarrow совокупность выражений x=1, x= \frac{3}{4} . конец совокупности$ Проверка показывает, что число 1 — посторонний корень.

   Решим неравенство $\log по основанию ( 2x - 1 ) ( 3x - 2 ) < - \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{\lg ( 3x - 2 )}{\lg ( 2x - 1 )} < - \frac{1}{3}$ Заметим, что при $x \leqslant \frac{2}{3}$ и при $x=1$ неравенство не определено. При $x > 1$ числитель и знаменатель левой части положительны, значит, неравенство не имеет решений. При $\frac{2}{3} < x < 1$ числитель и знаменатель левой части отрицательны и неравенство тоже не имеет решений.