Решите неравенство $\frac{8 в степени ( x + \frac{2}{3} ) - 9 \cdot 4 в

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Пусть $t=2 в степени ( x ) ,$ $t > 0,$ тогда: $\frac{4t^{3} - 18t^{2} + 13t}{2t^{2} - 9t + 4} \leqslant 2t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1} \Leftrightarrow \frac{2t ( 2t^{2} - 9t + 4 )}{2t^{2} - 9t + 4} + \frac{5t}{2t^{2} - 9t + 4} \leqslant 2t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2t + \frac{5t}{( 2t - 1 ) ( t - 4 )} \leqslant 2t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{5t}{( 2t - 1 ) ( t - 4 )} + \frac{1}{t - 2} - \frac{3}{2t - 1} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{5t ( t - 2 ) + ( 2t - 1 ) ( t - 4 ) - 3 ( t - 4 ) ( t - 2 )}{( 2t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{5t^{2} - 10t + 2t^{2} - 9t + 4 - 3t^{2} + 18t - 24}{( 2t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{4t^{2} - t - 20}{( 2t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} \leqslant 0$ $\frac{4t^{3} - 18t^{2} + 13t}{2t^{2} - 9t + 4} \leqslant 2t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2t ( 2t^{2} - 9t + 4 )}{2t^{2} - 9t + 4} + \frac{5t}{2t^{2} - 9t + 4} \leqslant 2t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2t + \frac{5t}{( 2t - 1 ) ( t - 4 )} \leqslant 2t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1} \Leftrightarrow \frac{5t}{( 2t - 1 ) ( t - 4 )} + \frac{1}{t - 2} - \frac{3}{2t - 1} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{5t ( t - 2 ) + ( 2t - 1 ) ( t - 4 ) - 3 ( t - 4 ) ( t - 2 )}{( 2t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{5t^{2} - 10t + 2t^{2} - 9t + 4 - 3t^{2} + 18t - 24}{( 2t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{4t^{2} - t - 20}{( 2t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} \leqslant 0$ $\frac{4t^{3} - 18t^{2} + 13t}{2t^{2} - 9t + 4} \leqslant 2t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2t ( 2t^{2} - 9t + 4 )}{2t^{2} - 9t + 4} + \frac{5t}{2t^{2} - 9t + 4} \leqslant 2t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2t + \frac{5t}{( 2t - 1 ) ( t - 4 )} \leqslant 2t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{5t}{( 2t - 1 ) ( t - 4 )} + \frac{1}{t - 2} - \frac{3}{2t - 1} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{5t ( t - 2 ) + ( 2t - 1 ) ( t - 4 ) - 3 ( t - 4 ) ( t - 2 )}{( 2t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{5t^{2} - 10t + 2t^{2} - 9t + 4 - 3t^{2} + 18t - 24}{( 2t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{4t^{2} - t - 20}{( 2t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} \leqslant 0$ $\frac{4t^{3} - 18t^{2} + 13t}{2t^{2} - 9t + 4} \leqslant 2t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2t ( 2t^{2} - 9t + 4 )}{2t^{2} - 9t + 4} + \frac{5t}{2t^{2} - 9t + 4} \leqslant 2t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2t + \frac{5t}{( 2t - 1 ) ( t - 4 )} \leqslant 2t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2t - 1} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{5t}{( 2t - 1 ) ( t - 4 )} + \frac{1}{t - 2} - \frac{3}{2t - 1} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{5t ( t - 2 ) + ( 2t - 1 ) ( t - 4 ) - 3 ( t - 4 ) ( t - 2 )}{( 2t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{5t^{2} - 10t + 2t^{2} - 9t + 4 - 3t^{2} + 18t - 24}{( 2t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{4t^{2} - t - 20}{( 2t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} \leqslant 0$ Найдём корни числителя: $4t^{2} - t - 20=0 \Leftrightarrow совокупность выражений t= \frac{1 - \sqrt{321}}{8} , t= \frac{1 + \sqrt{321}}{8} конец совокупности$ и заметим, что $2= \frac{1 + \sqrt{225}}{8} < \frac{1 + \sqrt{321}}{8} < \frac{1 + \sqrt{961}}{8} =4$ [рисунок] Используем метод интервалов для решения неравенства (см. рис.), получим: $\frac{1}{2} < t < 2,$ или $\frac{1 + \sqrt{321}}{8} \leqslant t < 4$ Вернемся к исходной переменной: совокупность выражений $\frac{1}{2}$ < 2^{x} < 2, $\frac{1 + \sqrt{321}}{8}$ \leqslant 2^{x} < 4 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений - 1 < x < 1, $\log$ по основанию 2 ( 1 + $\sqrt{321}$ ) - 3 \leqslant x <