Решите неравенство $\frac{6^{x} - 4 \cdot 3^{x}}{x \cdot 2^{x} - 5

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Разложим числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части неравенства, на множители: $6^{x} - 4 \cdot 3^{x} =3^{x} ( 2^{x} - 4 ) ,$ $x \cdot 2^{x} - 5 \cdot 2^{x} - 4x + 20= ( x - 5 ) \cdot 2^{x} - 4 ( x - 5 ) = ( x - 5 ) ( 2^{x} - 4 )$ Тогда при условии $2^{x} - 4 \neq 0,$ то есть при $x \neq 2,$ дробь можно сократить: $\frac{6^{x} - 4 \cdot 3^{x}}{x \cdot 2^{x} - 5 \cdot 2^{x} - 4x + 20} = \frac{3^{x} ( 2^{x} - 4 )}{( x - 5 ) ( 2^{x} - 4 )} = \frac{3^{x}}{x - 5}$ Осталось решить неравенство $\frac{3^{x}}{x - 5} \leqslant \frac{1}{x - 5}$ или $\frac{3^{x} - 1}{x - 5} \leqslant 0$ Применим обобщенный метод интервалов: числитель и знаменатель обращаются в нуль в точках 0 и 5 соответственно, на промежутках $( - \infty ;0 ) ,$ ( 0;5 ) , $( 5; + \infty )$ дробь сохраняет знак.