Решите неравенство: $( \frac{5^{x} - 8}{5^{x} - 25} + \frac{15}{25^{x}

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Преобразуем подкоренное выражение: $18 x^{2} - 24 x + 8=2 ( 9x^{2} - 12 x + 4 ) =2 ( 3 x - 2 )^{2} = ( 3 корень из 2 x - 2 корень из 2 )^{2}$ Полученное выражение не принимает отрицательных значений, а потому корень определен при всех значениях переменной.

   При $x= \frac{2}{3}$ полученное выражение равно нулю, а знаменатели дробей не обращаются в нуль, значит, левая часть неравенства равна нулю и неравенство выполняется.

   При $x \neq \frac{2}{3}$ выражение $\sqrt{18 x^{2} - 24 x + 8}$ положительно. Разделим на него, не меняя знака неравенства, и получим равносильное неравенство: $\frac{5^{x} - 8}{5^{x} - 25} + \frac{15}{25^{x} - 5 в степени ( x + 2 )} \geqslant 0$ Пусть $t=5^{x} ,$ тогда $\frac{t - 8}{t - 25}$ + $\frac{15}{t^{2} - 25t}$ \geqslant 0 \Leftrightarrow $\frac{t^{2} - 8t + 15}{t ( t - 25 )}$ \geqslant 0 \Leftrightarrow $\frac{( t - 3 ) ( t - 5 )}{t ( t - 25 )}$ \geqslant 0 \Leftrightarrow совокупность выражений t < 0,3 \leqslant t \leqslant 5,t >