Решите неравенство: $\frac{4 \log по основанию 2 ( x + 0,5 )}{5^{1}

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Разложим на множители разность левой и правой частей неравенства: $\frac{4 \log по основанию 2 ( x + 0,5 )}{5^{1}- \sqrt{x} ) - 1} - 5 в степени ( \sqrt{x} ) \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) = \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) ( \frac{4}{} 5^{1}- \sqrt{x} ) - 1 - 5 в степени ( \sqrt{x} ) ) =$ $= \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) ( \frac{4 \cdot 5 в степени ( \sqrt{x} )}{5 - 5 в степени ( \sqrt{x} )} - 5 в степени ( \sqrt{x} ) ) = 5 в степени ( корень из x ) \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) ( \frac{4}{} 5 - 5 в степени ( \sqrt{x} ) - 1 ) = 5 в степени ( корень из x ) \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) \frac{5 в степени ( \sqrt{x} ) - 1}{5 - 5 в степени ( \sqrt{x} )}$ $\frac{4 \log по основанию 2 ( x + 0,5 )}{5^{1}- \sqrt{x} ) - 1} - 5 в степени ( \sqrt{x} ) \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) =$ $= \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) ( \frac{4}{} 5^{1}- \sqrt{x} ) - 1 - 5 в степени ( \sqrt{x} ) ) = \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) ( \frac{4 \cdot 5 в степени ( \sqrt{x} )}{5 - 5 в степени ( \sqrt{x} )} - 5 в степени ( \sqrt{x} ) ) =$ $= 5 в степени ( корень из x ) \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) ( \frac{4}{} 5 - 5 в степени ( \sqrt{x} ) - 1 ) = 5 в степени ( корень из x ) \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) \frac{5 в степени ( \sqrt{x} ) - 1}{5 - 5 в степени ( \sqrt{x} )}$ $\frac{4 \log по основанию 2 ( x + 0,5 )}{5^{1}- \sqrt{x} ) - 1} - 5 в степени ( \sqrt{x} ) \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) =$ $= \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) ( \frac{4}{} 5^{1}- \sqrt{x} ) - 1 - 5 в степени ( \sqrt{x} ) ) =$ $= \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) ( \frac{4 \cdot 5 в степени ( \sqrt{x} )}{5 - 5 в степени ( \sqrt{x} )} - 5 в степени ( \sqrt{x} ) ) =$ $= 5 в степени ( корень из x ) \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) ( \frac{4}{} 5 - 5 в степени ( \sqrt{x} ) - 1 ) = 5 в степени ( корень из x ) \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) \frac{5 в степени ( \sqrt{x} ) - 1}{5 - 5 в степени ( \sqrt{x} )}$ $\frac{4 \log по основанию 2 ( x + 0,5 )}{5^{1}- \sqrt{x} ) - 1} - 5 в степени ( \sqrt{x} ) \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) =$ $= \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) ( \frac{4}{} 5^{1}- \sqrt{x} ) - 1 - 5 в степени ( \sqrt{x} ) ) =$ $= \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) ( \frac{4 \cdot 5 в степени ( \sqrt{x} )}{5 - 5 в степени ( \sqrt{x} )} - 5 в степени ( \sqrt{x} ) ) =$ $= 5 в степени ( корень из x ) \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) ( \frac{4}{} 5 - 5 в степени ( \sqrt{x} ) - 1 ) =$ $= 5 в степени ( корень из x ) \log по основанию 2 ( x + 0,5 ) \frac{5 в степени ( \sqrt{x} ) - 1}{5 - 5 в степени ( \sqrt{x} )}$ Областью определения выражения 5 в степени ( корень из x ) является множество неотрицательных чисел. На этом множестве определено и выражение $\log по основанию 2 ( x + 0,5 )$ На области определения выражение 5 в степени ( корень из x ) положительно, а потому на него можно разделить, не меняя знака неравенства. Применим метод рационализации: $\log по основанию 2 ( x + 0,5 ) \cdot \frac{5 в степени ( \sqrt{x} ) - 5^{0}}{5^{1} - 5 в степени ( \sqrt{x} )} \leqslant 0 \Leftrightarrow ( 2 - 1 ) ( x + 0,5 - 1 ) \frac{( 5 - 1 ) ( \sqrt{x} - 0 )}{( 5 - 1 ) ( 1 - \sqrt{x} )} \leqslant 0 \Leftrightarrow ( x - 0,5 ) \frac{корень из x}{1 - \sqrt{x}} \leqslant 0$ $\log по основанию 2 ( x + 0,5 ) \cdot \frac{5 в степени ( \sqrt{x} ) - 5^{0}}{5^{1} - 5 в степени ( \sqrt{x} )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( 2 - 1 ) ( x + 0,5 - 1 ) \frac{( 5 - 1 ) ( \sqrt{x} - 0 )}{( 5 - 1 ) ( 1 - \sqrt{x} )} \leqslant 0 \Leftrightarrow ( x - 0,5 ) \frac{корень из x}{1 - \sqrt{x}} \leqslant 0$ $\log по основанию 2 ( x + 0,5 ) \cdot \frac{5 в степени ( \sqrt{x} ) - 5^{0}}{5^{1} - 5 в степени ( \sqrt{x} )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( 2 - 1 ) ( x + 0,5 - 1 ) \frac{( 5 - 1 ) ( \sqrt{x} - 0 )}{( 5 - 1 ) ( 1 - \sqrt{x} )} \leqslant 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( x - 0,5 ) \frac{корень из x}{1 - \sqrt{x}} \leqslant 0$ [рисунок] Методом интервалов (см. рис.), учитывая, что $x \geqslant 0,$ находим ответ: $0 \leqslant x \leqslant 0,5$ или $x > 1$